Troposphère

La troposphère est la partie inférieure de l’atmosphère, située sous 11⁠ ⁠km d’altitude. On note (𝑂𝑧) l’axe vertical ascendant, dont l’origine est au niveau de la mer.

On suppose dans un premier temps que la température est uniforme dans la troposphère.

1/ Déterminer l’expression de la pression 𝑃 en fonction de l’altitude 𝑧, en fonction de la température 𝑇, de la masse molaire de l’air 𝑀air, de la constante des gaz parfaits 𝑅 et de l’accélération de la pesanteur 𝑔. On note 𝑃0 la pression au niveau de la mer.

Coup de pouce 1
Relier la masse volumique à la pression grâce à l’équation d’état des gaz parfaits.
Coup de pouce 2
Résoudre l’équation fondamentale de l’hydrostatique.
Corrigé

𝑃𝑉=𝑛𝑅𝑇 et 𝑛=𝑚𝑀air donnent 𝜇=𝑃𝑀air𝑅𝑇.

En remplaçant dans l’équation hydrostatique d𝑃d𝑧=−𝜇𝑔, on obtient l’équation différentielle

d𝑃d𝑧+𝑀air𝑔𝑅𝑇𝑃=0

En intégrant cette équation, on peut exprimer 𝑃(𝑧) en fonction de 𝑧 :

𝑃(𝑧)=𝑃0exp(−𝑀air𝑔𝑧𝑅𝑇)

2/ Montrer que 70⁠ ⁠% de la masse totale de l’air se situe en dessous de 10⁠ ⁠km dans ce modèle.

Coup de pouce 1
On considère un cylindre de section 𝑆 et de hauteur 𝑧. Exprimer la masse contenue dans ce cylindre comme une intégrale.
Coup de pouce 2
On souhaite montrer que la masse contenue dans un cylindre de hauteur 10⁠ ⁠km est égale à 70⁠ ⁠% de la masse contenue dans un cylindre de hauteur infinie.
Corrigé

La masse contenue dans un cylindre de section 𝑆 et de hauteur ℎ est donnée par l’intégrale

𝑚(ℎ)=∭𝑉𝜇d𝑉=𝑆∫0ℎ𝜇(𝑧)d𝑧

En remplaçant 𝜇(𝑧) par 𝑃𝑀air𝑅𝑇, on obtient

𝑚(ℎ)=𝑆𝑃0𝑀air𝑅𝑇∫0ℎexp(−𝑀air𝑔𝑧𝑅𝑇)d𝑧=𝑆𝑃0𝑔(1−exp(−𝑀air𝑔ℎ𝑅𝑇))

On veut montrer que 𝑚(10 km)=0,70×𝑚(∞). On calcule le quotient :

𝑚(10 km)𝑚(∞)=1−exp(−𝑀air𝑔10 km𝑅𝑇)≈7,0⋅10−1

On renonce à l’hypothèse isotherme pour passer à une atmosphère adiabatique.

3/ Les capacités thermiques molaires de l’air sont 𝐶𝑉=52𝑅 et 𝐶𝑃=72𝑅. Exprimer la valeur du coefficient 𝛾.

Corrigé
𝛾=𝐶𝑃𝐶𝑉=72𝑅52𝑅=75=1.4

4/ Montrer que le produit 𝑇𝑥𝑃𝑦 est constant pour une transformation réversible et adiabatique d’un gaz parfait. Exprimer 𝑥 et 𝑦 en fonction de 𝛾.

Coup de pouce 1
Utiliser la loi de Laplace et l’équation d’état des gaz parfaits.
Corrigé

La loi de Laplace pour une transformation adiabatique réversible s’écrit 𝑃𝑉𝛾=cte. En utilisant l’équation d’état des gaz parfaits 𝑃𝑉=𝑛𝑅𝑇, on peut exprimer le volume 𝑉 en fonction de 𝑃 et 𝑇 : 𝑉=𝑛𝑅𝑇𝑃.

En remplaçant cette expression dans la loi de Laplace, on obtient :

𝑃(𝑛𝑅𝑇𝑃)𝛾=cte

Ce qui se simplifie en :

𝑃1−𝛾𝑇𝛾=cte(𝑛𝑅)𝛾=cte'

Ainsi, on a 𝑥=𝛾 et 𝑦=1−𝛾.

5/ En déduire la relation reliant d𝑃𝑃 et d𝑇𝑇.

Coup de pouce 1
Exprimer 𝑇 en fonction de 𝑃 et différentier l’expression obtenue.
Corrigé

À partir de la relation 𝑇𝛾𝑃1−𝛾=cte, on peut exprimer 𝑇 en fonction de 𝑃 :

𝑇=cte𝑃𝛾−1𝛾

En différenciant cette expression, on obtient :

d𝑇=(𝛾−1𝛾)cte𝑃𝛾−1𝛾−1d𝑃

En divisant par 𝑇, on a :

d𝑇𝑇=(𝛾−1𝛾)d𝑃𝑃

6/ Établir l’expression du gradient de température adiabatique d𝑇d𝑧 en fonction de 𝛾, 𝑀, 𝑔 et 𝑅.

Coup de pouce 1
Utiliser la question précédente et l’équation fondamentale de l’hydrostatique.
Corrigé

En utilisant l’équation hydrostatique d𝑃d𝑧=−𝜇𝑔 et l’équation d’état des gaz parfaits pour exprimer 𝜇 en fonction de 𝑃 et 𝑇, on a d𝑃d𝑧=−𝑃𝑀air𝑅𝑇𝑔 soit

d𝑃𝑃=−𝑀air𝑔𝑅𝑇d𝑧

En remplaçant d𝑃𝑃 dans la relation obtenue précédemment, on a :

d𝑇𝑇=−(𝛾−1𝛾)𝑀air𝑔𝑅𝑇d𝑧

Ce qui donne le gradient de température adiabatique :

d𝑇d𝑧=−(𝛾−1𝛾)𝑀air𝑔𝑅

7/ Quelle température fait-il en haut de la troposphère dans ce modèle adiabatique ?

Corrigé

En utilisant l’expression du gradient de température adiabatique, on peut déterminer la température à une altitude donnée.

𝑇(𝑧)=𝑇0−(𝛾−1𝛾)𝑀air𝑔𝑅𝑧

En remplaçant les valeurs numériques et en prenant 𝑇0=288 K comme plus haut :

𝑇(11 km)=1,80⋅102 K

La tropopause est en réalité à 217⁠ ⁠K environ : le modèle adiabatique sec surestime le refroidissement, l’air réel étant humide.