Distribution d'eau potable — Phénomènes de transport 4 : Fluides en écoulement

Un château d’eau de hauteur

ℎ = 25 m

, alimente un village en eau potable. On suppose l’écoulement incompressible et homogène.

1/ Quelle pression

𝑃_{𝑒}

peut être attendue au pied du château d’eau, en admettant que le débit de l’eau dans la canalisation soit suffisamment faible pour ne pas impacter la pression ?

Coup de pouce 1

Résoudre l’équation fondamentale de l’hydrostatique pour un fluide incompressible.

Corrigé

L’équation fondamentale de l’hydrostatique pour un fluide incompressible s’écrit :

\frac{d 𝑃}{d 𝑧} = - 𝜇 𝑔

𝑃 (𝑧) = - 𝜇 𝑔 𝑧 + cte

En $𝑧 = ℎ$ , on a $𝑃 (ℎ) = 𝑃_{𝑎}$ donc $cte = 𝑃_{𝑎} + 𝜇 𝑔 ℎ$ . Ainsi,

𝑃 (𝑧) = 𝑃_{𝑎} + 𝜇 𝑔 (ℎ - 𝑧)

En $𝑧 = 0$ , on a donc :

𝑃_{𝑒} = 𝑃_{𝑎} + 𝜇 𝑔 ℎ

2/ Soit une conduite de longueur

𝐿 = 100 m

et de section

𝑆 = 1 {cm}^{2}

partant du pied de ce château d’eau. L’autre extrémité est à l’air libre. Quel débit peut-on attendre, en supposant a priori l’écoulement laminaire ? Calculer la vitesse débitante

𝑈

Coup de pouce 1

Utiliser la loi de Hagen-Poiseuille.

Corrigé

La loi de Hagen-Poiseuille s’écrit :

𝐷_{𝑉} = \frac{𝜋 𝑅^{4}}{8 𝜂 𝐿} Δ 𝑃

Ici, $Δ 𝑃 = 𝑃_{𝑒} - 𝑃_{𝑎} = 𝜇 𝑔 ℎ$ et $𝑆 = 𝜋 𝑅^{2}$ d’où $𝑅^{4} = \frac{𝑆^{2}}{𝜋^{2}}$ , ainsi

𝐷_{𝑉} = \frac{𝑆^{2}}{8 𝜋 𝜂 𝐿} 𝜇 𝑔 ℎ

Le débit volumique est relié à la vitesse débitante par la relation $𝐷_{𝑉} = 𝑈 𝑆$ , donc :

𝑈 = \frac{𝐷_{𝑉}}{𝑆} = \frac{𝑆 𝜇 𝑔 ℎ}{8 𝜋 𝜂 𝐿} = 1

⋅101 m s−1

3/ Calculer le nombre de Reynolds pour cet écoulement. La modélisation précédente est-elle correcte ?

Corrigé

Le diamètre de la conduite est tel que $𝑆 = 𝜋 {(\frac{𝐷}{2})}^{2}$ , d’où $𝐷 = 2 \sqrt{\frac{𝑆}{𝜋}}$

𝑅_{𝑒} = \frac{𝑈 𝐷}{𝜈} = \frac{𝑆 𝜇 𝑔 ℎ 2 \sqrt{\frac{𝑆}{𝜋}} 𝜇}{8 𝜋 𝜂 𝐿 𝜂} = 1

⋅105

$𝑅_{𝑒} > 2000$ , l’écoulement n’est donc pas laminaire, la modélisation précédente n’est pas correcte.

4/ En utilisant le diagramme de Moody, dire si la vitesse débitante sera plus ou moins importante que celle calculée plus haut.

Coup de pouce 1

La vitesse intervient dans le nombre de Reynolds mais aussi dans le coefficient de perte de charge.

Coup de pouce 2

Raisonner à nombre de Reynolds fixé.

Corrigé

À nombre de Reynolds fixé, le coefficient de perte de charge est systématiquement plus grand en régime turbulent qu’en régime laminaire. Ainsi, la vitesse débitante sera plus faible que celle calculée précédemment.

Distribution d’eau potable