Phénomènes de transport 4
Fluides en écoulement

Résumé du cours

1. Description de l’écoulement d’un fluide

Un fluide est un milieu matériel parfaitement déformable. Les liquides et les gaz sont des fluides.

1.1. Notion de particule de fluide

À l’échelle microscopique, les particules qui composent un fluide sont animées de mouvements erratiques1.

Il y a deux façons de définir un système mésoscopique :

La masse d’une particule de fluide est donc constante.

1.2. Description eulérienne et champ de vitesse

La description eulérienne consiste à décrire le champ de vitesse, c’est-à-dire la vitesse du fluide à chaque endroit de l’espace : 𝑣⃗(𝑀,𝑡)

La vitesse en un même point et à des instants différents 𝑣⃗(𝑀,𝑡1) et 𝑣⃗(𝑀,𝑡2) est la vitesse de particules de fluide différentes.

1.3. Tube de courant

Une ligne de courant est une courbe en tout point tangente au vecteur vitesse 𝑣⃗(𝑀,𝑡) et orientée dans le même sens.

Schéma 1 – Ligne de courant

En régime stationnaire, les lignes de courant sont immobiles : elles coïncident alors avec les trajectoires des particules de fluide.

Attention : de manière générale, les lignes de courant ne sont pas forcément les trajectoires des particules de fluide.

1.4. Dérivée particulaire

Point clé 1 – Dérivée particulaire ♥︎✍
D𝑓D𝑡=𝜕𝑓𝜕𝑡+(𝑣⃗⋅grad⃗)𝑓
avec 𝜕𝜕𝑡 le terme local ; 𝑣⃗⋅grad⃗ le terme convectif ; 𝑣 le champ de vitesse du fluide (m s−1).

1.5. Débit massique

Point clé 2 – Masses volumiques à connaitre ♥︎

Hypothèse : Dans les conditions normales de température et de pression.

avec 𝜇 la masse volumique (kg m−3).
Point clé 3 – Vecteur densité de courant de masse ♥︎✍
𝑗⃗𝑚=𝜇𝑣⃗
avec 𝑗⃗𝑚 le vecteur densité de courant de masse (kg m−2 ⁠s−1) ; 𝑣 le champ de vitesse du fluide (m s−1) ; 𝜇 la masse volumique (kg m−3).
Point clé 4 – Débit massique ♥︎✍
𝐷𝑚=∬𝑆𝜇𝑣⃗⋅d𝑆⃗
avec 𝐷𝑚 le débit massique (kg s−1) ; 𝜇 la masse volumique (kg m−3) ; 𝑣 le champ de vitesse du fluide (m s−1).
Application 1 ✍
Le débit maximal de l’Odet a été mesuré le 13 décembre 2000. La vitesse (supposée uniforme) valait 4⁠ ⁠m s−1. Sa largeur est de 10⁠ ⁠m et sa profondeur 4⁠ ⁠m. Déterminer le débit massique.

1.6. Débit volumique

Point clé 5 – Vecteur densité de courant de volume ♥︎✍
𝑗⃗𝑉=𝑣⃗
avec 𝑗⃗𝑉 le vecteur densité de courant de volume (m s−1) ; 𝑣 le champ de vitesse du fluide (m s−1).
Point clé 6 – Débit volumique ♥︎✍
𝐷𝑉=∬𝑆𝑣⃗⋅d𝑆⃗
avec 𝐷𝑉 le débit volumique (m3 s−1) ; 𝑣 le champ de vitesse du fluide (m s−1).
Application 2 ✍
Le débit maximal de l’Odet a été mesuré le 13 décembre 2000. La vitesse (supposée uniforme) valait 4⁠ ⁠m s−1. Sa largeur est de 10⁠ ⁠m et sa profondeur 4⁠ ⁠m. Déterminer le débit volumique.

1.7. Conservation de la masse

La masse est une grandeur physique conservative.

Point clé 7 – Équation locale de conservation de la masse ♥︎✍
𝜕𝜇𝜕𝑡=−div (𝜇𝑣⃗)
avec 𝜇 la masse volumique (kg m−3).
Point clé 8 – Conservation du débit massique ♥︎✍

Hypothèse : Le régime est stationnaire.

Le débit massique est le même sur chaque section d’un tube de courant.

avec 𝐷𝑚 le débit massique (kg s−1) ; 𝜇 la masse volumique (kg m−3) ; 𝑣 le champ de vitesse du fluide (m s−1).

1.8. Écoulement incompressible et homogène

Le volume n’est pas nécessairement une grandeur conservative.

Exemple 1
Si on compresse une seringue contenant un gaz, son volume diminue.

Dans un écoulement incompressible, le volume des particules de fluide ne change pas au cours du temps.

Dans un écoulement homogène, toutes les particules de fluide ont la même masse volumique.

Dans un écoulement incompressible et homogène, la masse volumique 𝜇 est uniforme3 et stationnaire4.

Point clé 9 – Conservation du volume ♥︎
Hypothèses :
  • L’écoulement est incompressible.
  • L’écoulement est homogène.
Le volume se conserve.
Point clé 10 – Conservation du débit volumique ♥︎✍
Hypothèses :
  • L’écoulement est incompressible.
  • L’écoulement est homogène.
Le débit volumique est le même sur chaque section d’un tube de courant.

2. Actions de contact sur un fluide

2.1. Action normale et tangentielle

Les forces de contact s’exerçant sur la surface d’une particule de fluide sont proportionnelles à sa surface. Elles peuvent se décomposer en

2.2. Forces de pression

Point clé 11 – Forces de pression ♥︎
𝛿2𝐹𝑃⃗=−𝑃d𝑆⃗
avec 𝛿2𝐹𝑃 la force de pression s’exerçant sur une surface élémentaire (N) ; 𝑃 la pression (Pa).
Point clé 12 – Résultante volumique des forces de pression ♥︎✍
𝛿3𝐹𝑃⃗=−grad⃗𝑃d𝑉
avec 𝛿3𝐹𝑃 la force de pression s’exerçant sur un volume élémentaire (N) ; 𝑃 la pression (Pa).
Point clé 13 – Relation fondamentale de l’hydrostatique ♥︎✍

Hypothèses :

  • Le fluide est au repos.
  • Les seules forces sont les forces de pression et le poids.
grad⃗𝑃=𝜇𝑔⃗
avec 𝑃 la pression (Pa) ; 𝜇 la masse volumique (kg m−3) ; 𝑔 l’accélération de la pesanteur (m s−2).
Application 3 ✍
Déterminer le champ de pression dans l’océan en le supposant homogène, incompressible et au repos.
Application 4 ✍
Déterminer le champ de pression dans l’atmosphère en la supposant immobile et isotherme et en assimilant l’air à un gaz parfait.

2.3. Forces tangentielles

La force tangentielle est due à la viscosité du fluide.

Schéma 2 – Forces de viscosité sur une surface élémentaire
Point clé 14 – Forces de viscosité

Hypothèses :

  • Le fluide est newtonien.
  • Le champ de vitesse est 𝑣⃗=𝑣(𝑦)𝑒⃗𝑥.
  • La surface sur laquelle s’exerce la force est orientée selon 𝑒⃗𝑦.
𝛿2𝐹𝑣⃗=𝜂𝜕𝑣𝜕𝑦d𝑆𝑒⃗𝑥
avec 𝛿2𝐹𝑣 la force de viscosité s’exerçant sur une surface élémentaire (N) ; 𝜂 la viscosité dynamique (Pl=Pa ⁠s) ; 𝑣 le champ de vitesse du fluide (m s−1).

Cette formule doit être adaptée en fonction des axes du problème.

Application 5 ✍
Vérifier l’homogénéité de cette relation.
Point clé 15 – Viscosité de l’eau ♥︎

Hypothèse : À 20⁠ ⁠°C

𝜂eau=1⋅10−3 Pl
avec 𝜂 la viscosité dynamique (Pl=Pa ⁠s).
Point clé 16 – Résultante volumique des forces de viscosité ♥︎✍

Hypothèse : Le fluide est newtonien.

𝛿3𝐹𝑣⃗=𝜂𝛥⃗𝑣⃗d𝑉
avec 𝛿3𝐹𝑣 la résultante de viscosité s’exerçant sur un volume élémentaire (N) ; 𝜂 la viscosité dynamique (Pl=Pa ⁠s) ; 𝑣 le champ de vitesse du fluide (m s−1).

Comme la force ne peut pas diverger, le champ de vitesse est dérivable donc continu.

En particulier, la vitesse d’un fluide au voisinage immédiat d’un solide est la vitesse du solide. Cette condition est appelée condition d’adhérence fluide-solide.

Application 6 ✍
Appliquer la loi de la quantité de mouvement sur une particule de fluide soumise aux forces de pression, de viscosité (fluide newtonien) et au poids. Cette équation (simplifiée par d𝑉) est appelée équation de Navier-Stokes.
Application 7 ✍
Écoulement de Couette-plan : un fluide est en écoulement stationnaire entre deux plaques parallèles, l’une immobile (en 𝑧=0) et l’autre animée d’une vitesse 𝑉⃗=𝑉𝑒⃗𝑥 (en 𝑧=𝑎). On néglige les effets de la gravité et on suppose la pression uniforme. Déterminer le champ de vitesse dans le fluide. On supposera que la vitesse ne dépend que de 𝑧 et qu’elle est selon 𝑥 : 𝑣⃗=𝑣(𝑧)𝑒⃗𝑥.

3. Écoulement interne incompressible et homogène dans une conduite cylindrique

On s’intéresse à un écoulement à l’intérieur d’une conduite cylindrique.

Exemple 2
Eau dans le réseau d’eau potable.

3.1. Vitesse débitante

La vitesse débitante est la vitesse qu’aurait le fluide si le champ de vitesse était uniforme tout en conservant le même débit volumique.

Point clé 17 – Vitesse débitante ♥︎
𝑈=𝐷𝑉𝑆
avec 𝑈 la vitesse débitante (m s−1) ; 𝐷𝑉 le débit volumique (m3 s−1) ; 𝑆 la section de la conduite (m2).

La vitesse débitante peut être vue comme la moyenne de la vitesse sur une section de la conduite :

𝑈=∬𝑆𝑣⃗⋅d𝑆⃗𝑆

3.2. Régimes d’écoulement

https://youtu.be/eD7LdS6bfOQ

Reynolds a mis en évidence expérimentalement deux régimes d’écoulement.

Schéma 3 – Expérience de Reynolds

En fonction du débit, on peut observer

le régime laminaire
dans lequel les lignes de courant sont stationnaires, pour des vitesses débitantes faibles
le régime turbulent
dans lequel les lignes de courant se déforment, pour des vitesses débitantes importantes.

Les deux régimes d’écoulement diffèrent par le mode de transport de quantité de mouvement prépondérant.

3.3. Transport de quantité de mouvement par diffusion

Dans le régime laminaire, la quantité de mouvement est essentiellement transportée par diffusion.

Point clé 18 – Vecteur densité de courant de quantité de mouvement diffusé ✍

Hypothèse : Le fluide est newtonien.

𝑗⃗𝑝,𝑑𝑖𝑓𝑓=−𝜈grad⃗(𝜇𝑣)
avec 𝑗⃗𝑝,𝑑𝑖𝑓𝑓 le vecteur densité de courant de quantité de mouvement diffusée (kg ⁠m s−1 ⁠m−2 ⁠s−1) ; 𝜈 =𝜂𝜇 la viscosité cinématique (m2 s−1) ; 𝜇 la masse volumique (kg m−3) ; 𝑣 le champ de vitesse du fluide (m s−1).
Point clé 19 – Temps caractéristique de diffusion de quantité de mouvement ♥︎✍
𝜏diff∼𝐿2𝜈
avec 𝜏diff la durée caractéristique associée à la diffusion (s) ; 𝐿 une longueur caractéristique du problème (m) ; 𝜈 =𝜂𝜇 la viscosité cinématique (m2 s−1).

3.4. Transport de quantité de mouvement par convection

Dans le régime turbulent, la quantité de mouvement est essentiellement transportée par convection.

Point clé 20 – Vecteur densité de courant de quantité de mouvement ✍
𝑗⃗𝑝,𝑐𝑜𝑛𝑣=𝜇𝑣𝑣⃗
avec 𝑗⃗𝑝,𝑐𝑜𝑛𝑣 le vecteur densité de courant de quantité de mouvement convectée (kg ⁠m s−1 ⁠m−2 ⁠s−1) ; 𝜇 la masse volumique (kg m−3) ; 𝑣 le champ de vitesse du fluide (m s−1).
Point clé 21 – Temps caractéristique de convection de quantité de mouvement ♥︎✍
𝜏conv∼𝐿𝒱︁
avec 𝜏conv la durée caractéristique associée à la convection (s) ; 𝐿 une longueur caractéristique du problème (m) ; 𝒱︁ un ordre de grandeur de la vitesse de l’écoulement (m s−1).

3.5. Nombre de Reynolds

Le nombre de Reynolds est une grandeur adimensionnée qui sert à comparer l’importance relative du transport de quantité de mouvement par convection et par diffusion.

Point clé 22 – Nombre de Reynolds ♥︎

Hypothèse : Le fluide est newtonien.

𝑅𝑒=𝒱︁𝐿𝜈
avec 𝑅𝑒 le nombre de Reynolds (sans unité) ; 𝐿 une longueur caractéristique du problème (m) ; 𝒱︁ un ordre de grandeur de la vitesse de l’écoulement (m s−1) ; 𝜈 =𝜂𝜇 la viscosité cinématique (m2 s−1).

Dans le cas d’un écoulement interne, 𝐿 désigne le diamètre de la conduite.

Pour un écoulement interne, l’ordre de grandeur de la vitesse 𝒱︁ est la vitesse débitante.

Application 8 ✍
De l’eau à 20⁠ ⁠°C circule dans une conduite de diamètre 5⁠ ⁠cm et de longueur 30⁠ ⁠m à la vitesse débitante de 0,1⁠ ⁠m s−1. Calculer le nombre de Reynolds.
Point clé 23 – Diffusion vs convection ✍

Hypothèse : Le fluide est newtonien.

𝑅𝑒∼𝜏diff𝜏conv∼‖𝑗⃗𝑝,𝑐𝑜𝑛𝑣‖‖𝑗⃗𝑝,𝑑𝑖𝑓𝑓‖
avec 𝑅𝑒 le nombre de Reynolds (sans unité) ; 𝜏diff la durée caractéristique associée à la diffusion (s) ; 𝜏conv la durée caractéristique associée à la convection (s).

Expérimentalement, on peut établir le seuil de passage d’un régime laminaire à un régime turbulent.

Point clé 24 – Seuil de turbulence ♥︎

Hypothèses :

  • Le fluide est newtonien.
  • L’écoulement est interne à une conduite.
avec 𝑅𝑒 le nombre de Reynolds (sans unité).
Application 9 ✍
De l’eau à 20⁠ ⁠°C circule dans une conduite de diamètre 5⁠ ⁠cm et de longueur 30⁠ ⁠m à la vitesse débitante de 0,1⁠ ⁠m s−1. L’écoulement est-il laminaire ou turbulent ?

3.6. Chute de pression dans une conduite horizontale à faible nombre de Reynolds

Dans un écoulement interne laminaire, la chute de pression entre les deux extrémités d’une conduite cylindrique est donnée par la loi de Hagen–Poiseuille.

Point clé 25 – Loi de Hagen–Poiseuille ♥︎✍

Hypothèses :

  • Le fluide est newtonien.
  • La conduite est horizontale.
  • L’effet de la gravité est négligé.
  • L’écoulement est laminaire.
  • Le régime est stationnaire.
  • Le champ de pression ne dépend que de 𝑥.
  • Les effets de bord sont négligés.
𝐷𝑉=𝜋𝑅48𝜂𝑙Δ𝑃
avec 𝐷𝑉 le débit volumique (m3 s−1) ; 𝑅 le rayon de la conduite (m) ; 𝜂 la viscosité dynamique (Pl=Pa ⁠s) ; 𝑙 la longueur de la conduite (m) ; Δ𝑃 la différence de pression entre les extrémités de la conduite (Pa).

Par analogie avec l’électrocinétique, on peut définir la résistance hydraulique.

Point clé 26 – Résistance hydraulique ♥︎✍

Hypothèses :

  • Le fluide est newtonien.
  • La conduite est horizontale.
  • L’effet de la gravité est négligé.
  • L’écoulement est laminaire.
Δ𝑃=𝑅𝐻𝐷𝑉

avec

𝑅𝐻=8𝜂𝑙𝜋𝑅4
avec Δ𝑃 la différence de pression entre les extrémités de la conduite (Pa) ; 𝑅𝐻 la résistance hydraulique (Pa ⁠s m−3) ; 𝐷𝑉 le débit volumique (m3 s−1) ; 𝜂 la viscosité dynamique (Pl=Pa ⁠s) ; 𝑙 la longueur de la conduite (m) ; 𝑅 le rayon de la conduite (m).
Application 10 ✍
De l’eau à 20⁠ ⁠°C circule dans une conduite de diamètre 5⁠ ⁠cm et de longueur 30⁠ ⁠m à la vitesse débitante de 0,01⁠ ⁠m s−1. Quelle est la chute de pression entre les deux extrémités de la conduite ?

3.7. Chute de pression pour un écoulement quelconque

Lorsque l’écoulement n’est pas laminaire, la loi de Hagen–Poiseuille n’est plus vraie. Il est alors nécessaire de s’en remettre aux données expérimentales qui sont résumées sur un diagramme appelé diagramme de Moody.

Application 11 ✍
De l’eau à 20⁠ ⁠°C circule dans une conduite en fonte de diamètre 1,5⁠ ⁠cm et de longueur 3⁠ ⁠m à la vitesse débitante de 2⁠ ⁠m s−1. Quelle est la chute de pression entre les deux extrémités de la conduite ?

4. Écoulement externe incompressible et homogène autour d’un obstacle

4.1. Force et coefficient de trainée

Lorsqu’un objet est en mouvement rectiligne uniforme dans un fluide, il subit des forces de pression et de viscosité. La résultante de ces forces, excepté la poussée d’Archimède, dans la direction du mouvement est appelée trainée.

Le maitre-couple (ou surface apparente) est la surface projetée dans une certaine direction.

Schéma 4 – Maitre-couple
Application 12 ✍

Calculer le maitre-couple dans la direction du mouvement pour la voiture ci-dessous. On pourra approximer la voiture à un parallélépipède rectangle pour faire les calculs.

Point clé 27 – Force de trainée ♥︎✍

Hypothèses :

  • Le fluide est newtonien.
  • L’écoulement est stationnaire.
  • L’objet est en mouvement rectiligne uniforme.
𝐹⃗𝑥=−12𝜇𝑣2𝑆𝑥𝐶𝑥𝑢⃗𝑥
avec 𝐹𝑥 la force de trainée (N) ; 𝜇 la masse volumique (kg m−3) ; 𝑣 le champ de vitesse du fluide (m s−1) ; 𝑆𝑥 le maitre-couple selon 𝑥 (m2) ; 𝐶𝑥 le coefficient de trainée (sans unité) ; 𝑢⃗𝑥 le vecteur unitaire colinéaire à la vitesse (sans unité).

Le coefficient de trainée dépend de la forme de l’objet et du nombre de Reynolds.

4.2. Cas d’une sphère

Le coefficient de trainée de la sphère est tracé ci-dessus en fonction du nombre de Reynolds. On peut y voir plusieurs parties.

4.2.1. Faible Reynolds

Pour 𝑅𝑒<1, le graphe s’approche d’une droite (en échelle logarithmique) d’équation 𝐶𝑥=24𝑅𝑒.

Point clé 28 – Force de trainée linéaire ♥︎✍

Hypothèses :

  • Le fluide est newtonien.
  • 𝑅𝑒<1.
𝐹⃗𝑥=−𝛼𝑣⃗
avec 𝐹𝑥 la force de trainée (N) ; 𝛼 le coefficient de frottement (N ⁠s m−1) ; 𝑣 le champ de vitesse du fluide (m s−1).
4.2.2. Haut Reynolds

Pour 𝑅𝑒∈[2000,200 000], 𝐶𝑥 est constant.

Point clé 29 – Force de trainée quadratique ♥︎✍

Hypothèses :

  • Le fluide est newtonien.
  • 𝑅𝑒∈[2000,200 000].
𝐹⃗𝑥=−𝛽𝑣2𝑢⃗𝑥
avec 𝐹𝑥 la force de trainée (N) ; 𝛽 le coefficient de frottement (N ⁠s2 m−2) ; 𝑣 le champ de vitesse du fluide (m s−1) ; 𝑢⃗𝑥 le vecteur unitaire colinéaire à la vitesse (sans unité).

4.3. Forces de trainée et de portance sur une aile d’avion

Sur certains objets, la force de trainée s’accompagne d’une force de portance.

Point clé 30 – Force de portance ♥︎
𝐹⃗𝑧=12𝜇𝑣2𝑆𝑧𝐶𝑧𝑢⃗𝑧
avec 𝐹𝑧 la force de portance (N) ; 𝜇 la masse volumique (kg m−3) ; 𝑣 le champ de vitesse du fluide (m s−1) ; 𝑆𝑧 le maitre-couple selon 𝑧 (m2) ; 𝐶𝑧 le coefficient de portance (sans unité) ; 𝑢⃗𝑧 le vecteur unitaire orthogonal à la vitesse (sans unité).
Exemple 3
Aile d’avion, voile de bateau.

La force de trainée est colinéaire à la vitesse de l’objet. La force de portance est orthogonale à la vitesse de l’objet.

Schéma 5 – Trainée, portance et angle d’incidence

La trainée et la portance dépendent de l’angle d’incidence. Les courbes ci-dessous présentent un exemple de dépendance pour une aile d’avion.

4.4. Couche limite

Dans un écoulement à haut nombre de Reynolds, où le transport de quantité de mouvement se fait essentiellement par convection, la viscosité du fluide a une influence sur la force subie par un objet. Pour expliquer cet apparent paradoxe, on introduit la couche limite.

Il existe en effet, même à haut nombre de Reynolds, des zones où le transport de quantité de mouvement se fait essentiellement par diffusion : ce sont les couches limites, de faible épaisseur et situées à proximité immédiate des objets.

Schéma 6 – Couche limite
  1. 1Erratique signifie aléatoire, qui vont dans tous les sens.
  2. 2Plus précisément, dont la vitesse est la vitesse moyenne des particules qui la composent.
  3. 3Uniforme signifie qui ne dépend pas de la position : c’est le même partout.
  4. 4Stationnaire signifie qui ne dépend pas du temps : c’est le même tout le temps.