Conduite plate

On s’intéresse à une conduite plate d’épaisseur 𝑒, de largeur 𝑙≫𝑒 et de longueur 𝐿 dans laquelle circule un fluide incompressible et homogène de viscosité dynamique 𝜂 et de masse volumique 𝜇.

Le champ de vitesse est noté 𝑣⃗=𝑣𝑒⃗𝑦.

La conduite est délimitée par les plans d’équation 𝑥=𝑙2, 𝑥=−𝑙2, 𝑧=𝑒2 et 𝑧=−𝑒2.

Les effets de la gravité sont négligés et on suppose que le gradient de pression est uniforme et selon 𝑒⃗𝑦.

1/ Déterminer l’équation aux dérivées partielles vérifiée par le champ de vitesse dans la conduite.

Coup de pouce 1
Appliquer la loi de la quantité de mouvement à une particule de fluide.
Coup de pouce 2
Comment s’exprime l’accélération d’une particule de fluide à partir du champ de vitesse ?
Corrigé

La loi de la quantité de mouvement appliquée à une particule de fluide s’écrit

𝜇d𝑉D𝑣⃗D𝑡=−grad⃗𝑃d𝑉+𝜂𝛥⃗𝑣⃗d𝑉𝜇𝜕𝑣⃗𝜕𝑡+𝜇(𝑣⃗⋅grad⃗)𝑣⃗=−grad⃗(𝑃)+𝜂𝛥⃗𝑣⃗

2/ Quelles sont les conditions aux limites vérifiées par le champ de vitesse ?

Coup de pouce 1
Écrire la condition d’adhérence sur les 4 parois de la conduite.
Corrigé

La condition d’adhérence sur les quatre parois d’équation 𝑥=𝑙2, 𝑥=−𝑙2, 𝑧=𝑒2 et 𝑧=−𝑒2 s’écrit

{∀𝑦,𝑧,𝑡𝑣⃗(𝑥=−𝑙2,𝑦,𝑧,𝑡)=0⃗∀𝑦,𝑧,𝑡𝑣⃗(𝑥=𝑙2,𝑦,𝑧,𝑡)=0⃗∀𝑥,𝑦,𝑡𝑣⃗(𝑥,𝑦,𝑧=𝑒2,𝑡)=0⃗∀𝑥,𝑦,𝑡𝑣⃗(𝑥,𝑦,𝑧=−𝑒2,𝑡)=0⃗

3/ On suppose l’écoulement laminaire et en régime stationnaire. Les effets de bord sont négligés. Justifier que 𝑣⃗=𝑣(𝑧)𝑒⃗𝑦.

Coup de pouce 1
En négligeant les effets de bord, quelles sont les invariances du problème ?
Coup de pouce 2
Utiliser le principe de Curie.
Corrigé
En régime stationnaire, le champ de vitesse ne dépend pas du temps. De plus, les effets de bord sont négligés, la situation est donc invariante par translation selon 𝑥 et 𝑦. D’après le principe de Curie, il en va de même pour 𝑣⃗ : 𝑣⃗=𝑣(𝑧)𝑒⃗𝑦.

4/ Établir le profil de vitesse dans la conduite.

Coup de pouce 1
Simplifier l’équation aux dérivées partielles vérifiée par le champ de vitesse en utilisant la question précédente.
Coup de pouce 2
Primitiver deux fois 𝜕𝑣𝜕𝑧. On introduira deux constantes.
Coup de pouce 3
Pour déterminer les constantes, on utilise les conditions aux limites en 𝑧=±𝑒2.
Corrigé

La loi de la quantité de mouvement appliquée à une particule de fluide peut être simplifiée :

−𝜕𝑃𝜕𝑦+𝜂𝜕2𝑣𝜕𝑧2=0

soit

𝜕𝑣𝜕𝑧=1𝜂𝜕𝑃𝜕𝑦𝑧+𝐴

et finalement

𝑣=1𝜂𝜕𝑃𝜕𝑦𝑧22+𝐴𝑧+𝐵

Pour trouver les constantes 𝐴 et 𝐵, on utilise les conditions aux limites

{0=𝑣(𝑧=𝑒2)=1𝜂𝜕𝑃𝜕𝑦𝑒28+𝐴𝑒2+𝐵0=𝑣(𝑧=−𝑒2)=1𝜂𝜕𝑃𝜕𝑦𝑒28−𝐴𝑒2+𝐵{0−0=𝐴𝑒0+0=1𝜂𝜕𝑃𝜕𝑦𝑒24+2𝐵{𝐴=0𝐵=−1𝜂𝜕𝑃𝜕𝑦𝑒28

Ainsi,

𝑣⃗=1𝜂𝜕𝑃𝜕𝑦(𝑧22−𝑒28)𝑒⃗𝑦

5/ Exprimer le débit volumique dans la conduite en fonction de 𝑙, 𝑒, 𝜂 et 𝜕𝑃𝜕𝑦.

Coup de pouce 1
Quelle relation relie le champ de vitesse au débit volumique ?
Corrigé
𝐷𝑉=∫𝑧=−𝑒2𝑒2∫𝑥=−𝑙2𝑙2𝑣⃗⋅𝑒⃗𝑦d𝑥d𝑧=1𝜂𝜕𝑃𝜕𝑦𝑙[𝑧36−𝑒28𝑧]−𝑒2𝑒2=1𝜂𝜕𝑃𝜕𝑦𝑙(𝑒348−𝑒316+𝑒348−𝑒316)=−𝜕𝑃𝜕𝑦𝑙𝑒312𝜂

6/ Calculer la résistance hydraulique de cette conduite plate pour 𝑒=1 mm, 𝐿=2 m et 𝑙=2 cm et dans laquelle circule de l’eau à 20⁠ ⁠°C.

Coup de pouce 1
Relier la différence de pression entre les deux extrémités de la conduite à la dérivée de la pression (l’énoncé précise que le gradient de pression est uniforme).
Corrigé
𝑅𝐻=Δ𝑃𝐷𝑉

avec Δ𝑃=𝑃(0)−𝑃(𝐿)=−𝐿𝜕𝑃𝜕𝑦

𝑅𝐻=12𝐿𝜂𝑙𝑒3=1⋅109 Pa ⁠s m−3