Chute d'une bille dans un fluide très visqueux — Phénomènes de transport 4 : Fluides en écoulement

On s’intéresse à une bille d’acier sphérique de rayon

𝑅

, de masse

𝑚

, de masse volumique

𝜌_{acier} = 7850 kg m^{- 3}

, de vitesse

\vec{𝑣} = - 𝑣 {\vec{𝑒}}_{𝑧}

lâchée sans vitesse initiale dans une éprouvette remplie de glycérine (de masse volumique

𝜌_{glycérine} = 1260 kg m^{- 3}

et de viscosité de l’ordre de

𝜂 \sim 0

⋅100 Pa ⁠s).

Le champ de pesanteur

\vec{𝑔}

est uniforme. On pose

𝑔^{'} = 𝑔 (1 - \frac{𝜌_{glycérine}}{𝜌_{acier}})

. L’axe

(𝑂 𝑧)

est vertical ascendant.

L’éprouvette est de diamètre très supérieur à celui de la bille. La force de frottements visqueux exercée par le fluide sur la bille est

\vec{𝐹} = - 6 𝜋 𝜂 𝑅 \vec{𝑣}

1/ Déterminer l’équation différentielle vérifiée par la vitesse

𝑣

de la bille.

Coup de pouce 1

Quelles sont les 3 forces qui s’exercent sur la bille ?

Coup de pouce 2

Appliquer le théorème de la résultante cinétique à la bille.

Corrigé

Le théorème de la résultante cinétique appliqué à la bille s’écrit

𝑚 \frac{d \vec{𝑣}}{d 𝑡} = 𝑚 \vec{𝑔} + 𝜌_{glycérine} 𝑉 𝑔 {\vec{𝑒}}_{𝑧} - 6 𝜋 𝜂 𝑅 \vec{𝑣}

Comme $\vec{𝑣} = - 𝑣 {\vec{𝑒}}_{𝑧}$ , la projection sur ${\vec{𝑒}}_{𝑧}$ donne

\begin{aligned} - 𝑚 \frac{d 𝑣}{d 𝑡} & = - 𝑚 𝑔 + 𝜌_{glycérine} 𝑉 𝑔 + 6 𝜋 𝜂 𝑅 𝑣 \\ = - 𝑚 𝑔 + 𝜌_{glycérine} \frac{𝑚}{𝜌_{acier}} 𝑔 + 6 𝜋 𝜂 𝑅 𝑣 \\ = - 𝑚 𝑔^{'} + 6 𝜋 𝜂 𝑅 𝑣 \end{aligned}

Dans sa forme canonique, cette équation s’écrit

\frac{d 𝑣}{d 𝑡} + \frac{6 𝜋 𝜂 𝑅}{𝑚} 𝑣 = 𝑔^{'}

2/ Calculer la durée caractéristique

𝜏

associée à l’équation différentielle pour

𝑅 = 1,5 mm

Corrigé

La durée caractéristique de l’équation différentielle est

𝜏 = \frac{𝑚}{6 𝜋 𝜂 𝑅} = \frac{\frac{4}{3} 𝜋 𝑅^{3} 𝜌_{acier}}{6 𝜋 𝜂 𝑅} = \frac{2 𝑅^{2} 𝜌_{acier}}{9 𝜂} = 3

⋅10−3 s

3/ Exprimer la vitesse limite en fonction de

𝑅

𝑔^{'}

𝜌_{acier}

𝜂

Coup de pouce 1

Quelle est la solution particulière de l’équation différentielle ?

Coup de pouce 2

Exprimer la masse de la bille en fonction de

𝜌

et de

𝑅

Corrigé

𝑣_{lim} = \frac{𝑔^{'} 𝑚}{6 𝜋 𝜂 𝑅} = \frac{𝑔^{'} \frac{4}{3} 𝜋 𝑅^{3} 𝜌_{acier}}{6 𝜋 𝜂 𝑅} = \frac{2 𝑔^{'} 𝑅^{2} 𝜌_{acier}}{9 𝜂}

4/ On mesure

𝑣_{1 s}

, la norme de la vitesse une seconde après avoir lâché la bille pour différentes tailles de bille. La courbe ci-dessous montre l’évolution de

𝑣_{1 s}

, en fonction de

𝑅^{2}

. En déduire la valeur de la viscosité

𝜂

de la glycérine.

Coup de pouce 1

En comparant

1

⁠

s

𝜏

, dans quel régime se trouve-t-on ? Quelle est l’expression de la vitesse dans ce régime ?

Corrigé

$1 s ≫ 𝜏$ , la vitesse mesurée au bout de $1$ ⁠⁠ $s$ est donc la vitesse limite $𝑣_{lim} = \frac{2 𝑔^{'} 𝑅^{2} 𝜌_{acier}}{9 𝜂}$ .

Le point le plus à droite correspond à une bille de $1,5$ ⁠⁠ $mm$ . Pour les autres, le temps caractéristique est plus court encore que celui précédemment calculé.

Les points expérimentaux sont alignés. La pente correspond à $\frac{2 𝑔^{'} 𝜌_{acier}}{9 𝜂}$ .

Une lecture graphique donne une pente de $𝑝 = \frac{0,029 m s^{- 1}}{2,4 {mm}^{2}} = 1,2$ ⋅104 s−1 ⁠m−1.

On a donc

𝜂 = \frac{2 𝑔^{'} 𝜌_{acier}}{9 𝑝} = 1,2 Pl

5/ Calculer le nombre de Reynolds pour la plus grosse sphère. Est-il légitime de considérer des frottements fluides linéaires ?

Coup de pouce 1

Le nombre de Reynolds croît-il ou décroit-il avec

𝑅

Corrigé

La plus grosse bille ( $𝑅 = 1,5 mm$ ) atteint $𝑣_{lim} = 2,6$ ⋅10−2 m s−1, d’où

𝑅_{𝑒} = \frac{𝑣 𝐷}{𝜈} = \frac{2 𝑣 𝑅 𝜌_{glycérine}}{𝜂} = 7,7

⋅10−2

$𝑅_{𝑒}$ est d’autant plus grand que $𝑅$ est grand. Il est très inférieur à $1$ pour la plus grande des billes, donc pour toutes les autres aussi. Il est donc légitime de considérer un modèle linéaire des frottements fluides.

Chute d’une bille dans un fluide très visqueux