Chute d'une bille dans un fluide peu visqueux — Phénomènes de transport 4 : Fluides en écoulement

🖥️ Chute d’une bille dans un fluide peu visqueux ★

Notebook Capytale de cet exercice : 78a6-11678462

On lâche sans vitesse initiale une bille sphérique de rayon $𝑅$ , de masse $𝑚$ , dans un fluide peu visqueux, de masse volumique $𝜇$ très faible devant celle de la bille, et de viscosité cinématique $𝜈$ .

On suppose la pesanteur uniforme, et on note $\vec{𝑣} (𝑡) = - 𝑣 (𝑡) {\vec{𝑒}}_{𝑧}$ la vitesse de la bille, $𝑣 (𝑡)$ désignant sa norme.

On suppose que le nombre de Reynolds est compris entre $2$ ⋅103 et $2$ ⋅105. Dans ce cas, le coefficient de trainée d’une sphère est $𝐶_{𝑥} = 0,47$ .

1/ Exprimer la force de frottement fluide sur la bille.

Coup de pouce 1

Que vaut le maitre-couple pour une sphère de rayon

𝑅

Corrigé

{\vec{𝐹}}_{𝑥} = \frac{1}{2} 𝜇 𝜋 𝑅^{2} 𝐶_{𝑥} 𝑣^{2} {\vec{𝑒}}_{𝑧}

2/ Établir l’équation différentielle vérifiée par $𝑣 (𝑡)$ .

Coup de pouce 1

Faire le bilan des forces agissant sur la bille.

Corrigé

Le théorème de la résultante cinétique appliqué à la bille s’écrit $𝑚 \frac{d \vec{𝑣}}{d 𝑡} = 𝑚 \vec{𝑔} + {\vec{𝐹}}_{𝑥}$ . Comme $\vec{𝑣} = - 𝑣 {\vec{𝑒}}_{𝑧}$ , la projection sur ${\vec{𝑒}}_{𝑧}$ donne $- 𝑚 \frac{d 𝑣}{d 𝑡} = - 𝑚 𝑔 + \frac{1}{2} 𝜇 𝜋 𝑅^{2} 𝐶_{𝑥} 𝑣^{2}$ , soit

𝑚 \frac{d 𝑣}{d 𝑡} = 𝑚 𝑔 - \frac{1}{2} 𝜇 𝜋 𝑅^{2} 𝐶_{𝑥} 𝑣^{2}

3/ Établir l’expression de la vitesse limite $𝑣_{lim}$ atteinte par la bille.

Coup de pouce 1

Comment se simplifie l’équation différentielle en régime stationnaire ?

Corrigé

L’équation différentielle possède une solution particulière constante :

\frac{1}{2} 𝜇 𝜋 𝑅^{2} 𝐶_{𝑥} 𝑣^{2} = 𝑚 𝑔

𝑣 = \sqrt{\frac{2 𝑚 𝑔}{𝜇 𝜋 𝑅^{2} 𝐶_{𝑥}}}

4/ On cherche à résoudre numériquement l’équation différentielle pour obtenir $𝑣 (𝑡)$ .

Compléter le code Python suivant pour simuler la chute de la bille.

from math import pi
from scipy.integrate import solve_ivp
R = 0.01  # rayon de la bille en m
m = 0.1   # masse de la bille en kg
mu = 1    # masse volumique du fluide en kg/m^3
Cx = 0.47 # coefficient de trainée
g = 9.81  # accélération due à la pesanteur en m/s^2

def dvdt(t, v): # renvoie la dérivée de la vitesse
    ...

v0 = 0  # vitesse initiale en m/s

sol = solve_ivp(dvdt, (0,10), [v0])
t = sol.t
v = sol.y[0]

Coup de pouce 1

Isoler la dérivée de la vitesse dans l’équation différentielle.

Corrigé

def dvdt(t, v):
    return (m * g - 1/2 * mu * pi * R**2 * Cx * v**2) / m

5/ Tracer la vitesse de la bille en fonction du temps.

Corrigé

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
plt.plot(t, v)
plt.xlabel('Temps (s)')
plt.ylabel('Vitesse (m/s)')
plt.title("Chute d'une bille dans un fluide peu visqueux")
plt.show()

6/ Expliquer pourquoi la modélisation proposée pose problème aux premiers instants du mouvement.

Coup de pouce 1

Que vaut le nombre de Reynolds aux premiers instants du mouvement ?

Corrigé

Au début de la chute, la vitesse est très faible, ce qui conduit à un nombre de Reynolds faible. Dans ce régime, le coefficient de trainée n’est pas constant.

7/ Des relevés expérimentaux du coefficient de trainée en fonction du nombre de Reynolds sont donnés dans un fichier téléchargeable à l’adresse suivante

https://nuage03.apps.education.fr/index.php/s/APPGg6586cnHELy

Compléter le code Python suivant pour calculer la force de trainée à partir de ces données expérimentales.

import numpy as np

data = np.loadtxt('Cx-Re.csv', delimiter=',', skiprows=1)

Re_exp = ... # première colonne de data
Cx_exp = ... # deuxième colonne de data

eta = 1.85e-5  # viscosité dynamique de l'air en Pa.s

def Fx(v):
    Re = ...
    Cx = np.interp(Re, Re_exp, Cx_exp) # interpolation du coefficient de trainée à partir des données expérimentales
    return ...

Coup de pouce 1

On peut utiliser le découpage (slicing) : L[:,:] par exemple pour prendre toutes les lignes et toutes les colonnes d’un tableau L.

Coup de pouce 2

Rappeler l’expression du nombre de Reynolds en fonction de la vitesse.

Coup de pouce 3

Rappeler l’expression de la force de trainée en fonction du coefficient de trainée.

Corrigé

Re_exp = data[:, 0]
Cx_exp = data[:, 1]

def Fx(v):
    Re = (2 * R * mu * v) / eta
    Cx = np.interp(Re, Re_exp, Cx_exp)
    return 1/2 * mu * pi * R**2 * Cx * v**2

8/ Modifier le code de la question 4 pour prendre en compte cette nouvelle expression de la force de trainée, et tracer la vitesse de la bille en fonction du temps.

Coup de pouce 1

Seule la fonction dvdt doit être modifiée pour prendre en compte la nouvelle expression de la force de trainée.

Corrigé

def dvdt(t, v):
    return (m * g - Fx(v)) / m

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
plt.plot(t, v)
plt.xlabel('Temps (s)')
plt.ylabel('Vitesse (m/s)')
plt.title("Chute d'une bille dans un fluide peu visqueux")
plt.show()