Taille critique d'une bactérie aérobie — Phénomènes de transport 3 : Diffusion de particules

On étudie les conditions de survie d’une bactérie dans un lac de très grande taille à la température

𝑇_{0} = 297 K

. Pour vivre, elle a besoin de consommer le dioxygène dissous dans l’eau au voisinage de sa surface.

La bactérie est modélisée par une boule de centre

𝑂

fixe, de rayon

𝑅

, de masse volumique

𝜇

identique à celle de l’eau.

On se place en régime stationnaire et on note

𝑛 (𝑟)

la densité particulaire, exprimée en

m^{- 3}

, de

O_{2}

dissous à la distance

𝑟

𝑂

(

𝑟 > 𝑅

). La diffusion de

O_{2}

obéit à la loi de Fick avec un coefficient de diffusion de

𝐷 = 2

⋅10−9 USI. Loin de la bactérie, la concentration molaire volumique de

O_{2}

dissous dans le lac vaut

𝑐_{0} = 2,6

⋅10−4 mol L−1 (c’est la solubilité du dioxygène dans l’eau douce à cette température).

La consommation en

O_{2}

de la bactérie est proportionnelle à sa masse. On introduit le taux horaire de consommation de

O_{2}

par unité de masse, noté

𝑎

et mesuré en

mol {kg}^{- 1} ⁠ s^{- 1}

1/ Rappeler la loi de Fick reliant le vecteur densité de courant particulaire

\vec{𝑗} = 𝑗 (𝑟) {\vec{𝑒}}_{𝑟}

à la densité particulaire

𝑛 (𝑟)

Corrigé

La loi de Fick s’écrit

\vec{𝑗} = - 𝐷 \vec{grad} 𝑛

Corrigé

L’unité de

𝐷

est

m^{2} s^{- 1}

3/ Établir l’équation de diffusion de particules en coordonnées sphériques.

Coup de pouce 1

Faire un bilan de particules sur un volume infinitésimal ou sur une boule creuse d’épaisseur infinitésimale.

Corrigé

On fait un bilan de particules sur une coquille sphérique comprise entre $𝑟$ et $𝑟 + d 𝑟$ , de volume $d 𝑉 = 4 𝜋 𝑟^{2} d 𝑟$ , entre $𝑡$ et $𝑡 + d 𝑡$ . En l’absence de terme source,

\begin{aligned} \frac{𝜕 𝑛}{𝜕 𝑡} d 𝑉 d 𝑡 & = (𝑗 (𝑟) 4 𝜋 𝑟^{2} - 𝑗 (𝑟 + d 𝑟) 4 𝜋 {(𝑟 + d 𝑟)}^{2}) d 𝑡 \\ = - 4 𝜋 \frac{𝜕}{𝜕 𝑟} (𝑟^{2} 𝑗 (𝑟)) d 𝑟 d 𝑡 \end{aligned}

En divisant par $d 𝑉 d 𝑡 = 4 𝜋 𝑟^{2} d 𝑟 d 𝑡$ ,

\frac{𝜕 𝑛}{𝜕 𝑡} = - \frac{1}{𝑟^{2}} \frac{𝜕}{𝜕 𝑟} (𝑟^{2} 𝑗 (𝑟))

La loi de Fick $𝑗 = - 𝐷 \frac{𝜕 𝑛}{𝜕 𝑟}$ donne alors l’équation de diffusion

\frac{𝜕 𝑛}{𝜕 𝑡} = \frac{𝐷}{𝑟^{2}} \frac{𝜕}{𝜕 𝑟} (𝑟^{2} \frac{𝜕 𝑛}{𝜕 𝑟})

4/ Exprimer

Φ

, le nombre de molécules de

O_{2}

qui traversent par unité de temps une sphère de rayon

𝑟

(

𝑟 > 𝑅

) en fonction de

𝑗 (𝑟)

et de

𝑟

. Justifier que

Φ

ne dépend pas du rayon

𝑟

de la sphère considérée.

Corrigé

Le flux particulaire est

Φ = 4 𝜋 𝑟^{2} 𝑗 (𝑟)

. En régime stationnaire et en l’absence de terme source, le vecteur densité de courant de particules est à flux conservatif, donc

Φ

est le même sur toute sphère de rayon

𝑟 > 𝑅

5/ Déterminer l’expression de la densité particulaire

𝑛 (𝑟)

O_{2}

dissous dans l’eau. On exprimera les deux constantes d’intégration en fonction de

𝐷

Φ

{𝒩︀}_{𝑎}

𝑐_{0}

. En déduire la densité particulaire

𝑛_{𝑅}

en surface de la bactérie, en

𝑟 = 𝑅

Coup de pouce 1

Insérer la loi de Fick dans l’équation obtenue à la question précédente.

Coup de pouce 2

Déterminer les constantes en utilisant la densité particulaire à l’infini et le flux particulaire.

Corrigé

Φ = 4 𝜋 𝑟^{2} 𝑗 (𝑟) = - 4 𝜋 𝑟^{2} 𝐷 \frac{d 𝑛}{d 𝑟}

Soit

\frac{d 𝑛}{d 𝑟} = - \frac{Φ}{4 𝜋 𝐷} \frac{1}{𝑟^{2}}

En primitivant, on obtient

𝑛 (𝑟) = \frac{Φ}{4 𝜋 𝐷} \frac{1}{𝑟} + 𝐶

Avec la condition à l’infini $𝑛 (𝑟 \to + \infty) = 𝑐_{0} {𝒩︀}_{𝑎}$ , on trouve $𝐶 = 𝑐_{0} {𝒩︀}_{𝑎}$ . Donc

𝑛 (𝑟) = \frac{Φ}{4 𝜋 𝐷} \frac{1}{𝑟} + 𝑐_{0} {𝒩︀}_{𝑎}

En $𝑟 = 𝑅$ , on a donc

𝑛_{𝑅} = 𝑛 (𝑅) = \frac{Φ}{4 𝜋 𝐷} \frac{1}{𝑅} + 𝑐_{0} {𝒩︀}_{𝑎}

6/ En étudiant la consommation en

O_{2}

de la bactérie pendant une durée

d 𝑡

, exprimer

Φ

en fonction de

𝑎

{𝒩︀}_{𝑎}

, de la masse volumique

𝜇

de la bactérie et de son rayon

𝑅

Coup de pouce 1

La consommation de

O_{2}

de la bactérie est le flux particulaire d’

O_{2}

arrivant à la bactérie.

Corrigé

La masse de la bactérie est $𝑚 = \frac{4}{3} 𝜋 𝑅^{3} 𝜇$ . Le nombre de molécules de $O_{2}$ consommées pendant une durée $d 𝑡$ est donc $𝑎 𝑚 d 𝑡 {𝒩︀}_{𝑎} = 𝑎 \frac{4}{3} 𝜋 𝑅^{3} 𝜇 d 𝑡 {𝒩︀}_{𝑎}$ . En régime stationnaire, le dioxygène consommé par la bactérie est égal au dioxygène arrivant à elle. Donc le flux particulaire est

Φ = - \frac{4}{3} 𝑎 𝜋 𝑅^{3} 𝜇 {𝒩︀}_{𝑎}

7/ En déduire l’expression de

𝑛_{𝑅}

. Comment varie

𝑛_{𝑅}

en fonction de

𝑅

Corrigé

En remplaçant $Φ$ dans l’expression de $𝑛_{𝑅}$ , on obtient

𝑛_{𝑅} = - \frac{4}{3} 𝑎 𝜋 𝑅^{3} 𝜇 \frac{{𝒩︀}_{𝑎}}{4 𝜋 𝐷} \frac{1}{𝑅} + 𝑐_{0} {𝒩︀}_{𝑎} = \frac{- 𝑎 𝑅^{2} 𝜇 {𝒩︀}_{𝑎}}{3 𝐷} + 𝑐_{0} {𝒩︀}_{𝑎}

Donc $𝑛_{𝑅}$ décroit quand $𝑅$ augmente.

8/ Quelle inégalité doit vérifier

𝑛_{𝑅}

pour que la bactérie ne suffoque pas ? En déduire l’expression du rayon critique

𝑅_{𝑐}

d’une bactérie aérobie. Effectuer l’application pour

𝑎 = 1

⋅10−3 mol kg−1 ⁠s−1 et sachant que la bactérie a une masse volumique comparable à celle de l’eau. Comparer ce résultat à la dimension caractéristique

𝑅 = 1

10 µm

d’une bactérie réelle.

Coup de pouce 1

La densité particulaire ne peut pas être négative.

Corrigé

Pour que la bactérie ne suffoque pas, il faut que $𝑛_{𝑅} > 0$ . Donc

- 𝑎 𝑅^{2} 𝜇 \frac{{𝒩︀}_{𝑎}}{3 𝐷} + 𝑐_{0} {𝒩︀}_{𝑎} > 0

Soit

𝑅^{2} < 3 𝐷 \frac{𝑐_{0}}{𝑎 𝜇}

Donc le rayon critique est

𝑅_{𝑐} = \sqrt{3 𝐷 \frac{𝑐_{0}}{𝑎 𝜇}} = 3,9

⋅10−5 m

Les bactéries réelles, de rayon $1$ à $10$ ⁠⁠ $µm$ , sont bien en dessous de ce rayon critique, mais d’un facteur $4$ à $40$ seulement : c’est l’approvisionnement en dioxygène qui limite la taille des bactéries aérobies.

Taille critique d’une bactérie aérobie