Désintégration de l'uranium 235 — Phénomènes de transport 3 : Diffusion de particules

L’uranium 235 n’a pas un noyau stable, celui-ci peut se fissionner en “captant” un neutron selon la réaction nucléaire

{\begin{matrix}  \end{matrix}}_{92}^{235} U

+ 1 neutron

\to

X

Y

𝜈

neutrons

où

X

Y

sont deux noyaux plus légers. La valeur moyenne de

𝜈

est

2,5

. Le nombre de réactions par unité de temps et de volume vaut

\frac{𝑛}{𝜏}

On se place en coordonnées sphériques, note

𝑛 (𝑟, 𝑡)

le nombre de neutrons par unité de volume et

\vec{𝑗} (𝑟, 𝑡)

le vecteur densité de courant de neutrons.

On donne, en sphériques, pour des grandeurs ne dépendant que de

𝑟

et de

𝑡

1/ En faisant un bilan de neutrons sur un volume mésoscopique, démontrer l’équation fondamentale de la neutronique :

Coup de pouce 1

Combien de neutrons sont captés durant

d 𝑡

dans le volume considéré ? Combien sont émis ?

Corrigé

On fait un bilan de neutrons sur une coquille sphérique de rayon intérieur $𝑟$ et d’épaisseur $d 𝑟$ . $d^{2} 𝑁 = 𝛿^{2} 𝑁$

d^{2} 𝑁 = \frac{𝜕 𝑛}{𝜕 𝑡} d 𝑉 d 𝑡

À chaque fois que la réaction se produit, $𝜈$ neutrons sont émis et un neutron est capté, donc $𝜈 - 1$ neutrons supplémentaires apparaissent. Le nombre de réactions dans le volume élémentaire durant $d 𝑡$ est $\frac{𝑛}{𝜏} d 𝑉 d 𝑡$ . Donc

\begin{aligned} 𝛿^{2} 𝑁 & = \frac{𝜈 - 1}{𝜏} 𝑛 d 𝑉 d 𝑡 + (𝑗 (𝑟) 4 𝜋 𝑟^{2} - 𝑗 (𝑟 + d 𝑟) 4 𝜋 {(𝑟 + d 𝑟)}^{2}) d 𝑡 \\ = \frac{𝜈 - 1}{𝜏} 𝑛 d 𝑉 d 𝑡 - 4 𝜋 \frac{𝜕}{𝜕 𝑟} (𝑟^{2} 𝑗 (𝑟)) d 𝑟 d 𝑡 \end{aligned}

Or $d 𝑉 = 4 𝜋 𝑟^{2} d 𝑟$ , donc en divisant par $d 𝑉 d 𝑡$ on trouve l’équation

\begin{aligned} \frac{𝜕 𝑛}{𝜕 𝑡} & = \frac{𝜈 - 1}{𝜏} 𝑛 - \frac{1}{𝑟^{2}} \frac{𝜕}{𝜕 𝑟} (𝑟^{2} 𝑗 (𝑟)) \\ = - div \vec{𝑗} + \frac{𝜈 - 1}{𝜏} 𝑛 \end{aligned}

2/ On recherche une solution de l’équation ci-dessus sous la forme

𝑛 (𝑟, 𝑡) = \frac{𝑓 (𝑡) 𝑔 (𝑟)}{𝑟}

. Montrer que

𝑓

𝑔

vérifient les équations différentielles suivantes :

où

𝐾

est une constante qu’on ne cherchera pas à déterminer pour l’instant.

Coup de pouce 1

Il faut procéder par séparation des variables.

Coup de pouce 2

Remplacer

𝑗

par la loi de Fick dans l’équation obtenue précédemment.

Corrigé

La loi de Fick donne $\vec{𝑗} = - 𝐷 \vec{grad} 𝑛 = - 𝐷 \frac{𝜕 𝑛}{𝜕 𝑟} {\vec{𝑒}}_{𝑟} = - 𝐷 𝑓 (𝑡) \frac{𝜕}{𝜕 𝑟} (\frac{𝑔 (𝑟)}{𝑟})$ , avec $𝐷$ la diffusivité des neutrons dans l’uranium 235. En remplaçant dans l’équation, on trouve

\begin{aligned} \frac{𝑔 (𝑟)}{𝑟} \frac{d 𝑓}{d 𝑡} & = 𝐷 𝑓 (𝑡) \frac{1}{𝑟^{2}} \frac{d}{d 𝑟} (𝑟^{2} \frac{d \frac{𝑔 (𝑟)}{𝑟}}{d 𝑟}) + \frac{𝜈 - 1}{𝜏} 𝑓 (𝑡) \frac{𝑔 (𝑟)}{𝑟} \\ \frac{𝑔 (𝑟)}{𝑟} \frac{d 𝑓}{d 𝑡} & = 𝐷 𝑓 (𝑡) \frac{1}{𝑟^{2}} \frac{d}{d 𝑟} (𝑟^{2} \frac{1}{𝑟} \frac{d 𝑔}{d 𝑟} - \frac{𝑟^{2}}{𝑟^{2}} 𝑔 (𝑟)) + \frac{𝜈 - 1}{𝜏} 𝑓 (𝑡) \frac{𝑔 (𝑟)}{𝑟} \\ \frac{𝑔 (𝑟)}{𝑟} \frac{d 𝑓}{d 𝑡} & = 𝐷 𝑓 (𝑡) \frac{1}{𝑟^{2}} (𝑟 \frac{d^{2} 𝑔}{d 𝑟^{2}} + \frac{d 𝑔}{d 𝑟} - \frac{d 𝑔}{d 𝑟}) + \frac{𝜈 - 1}{𝜏} 𝑓 (𝑡) \frac{𝑔 (𝑟)}{𝑟} \end{aligned}

On sépare les variables :

\frac{1}{𝑓 (𝑡)} \frac{d 𝑓}{d 𝑡} = 𝐷 \frac{1}{𝑔 (𝑟)} \frac{d^{2} 𝑔}{d 𝑟^{2}} + \frac{𝜈 - 1}{𝜏}

Le terme de gauche ne dépend pas de $𝑟$ , donc le terme de droite non plus (car ils sont égaux).

Le terme de droite ne dépend pas de $𝑡$ , donc le terme de gauche non plus (car ils sont égaux).

Il en résulte que les deux termes sont égaux à une constante que l’on note $𝐾$ .

On obtient ainsi les deux équations différentielles :

\begin{matrix} \frac{d 𝑓}{d 𝑡} = 𝐾 𝑓 (𝑡) \\ 𝐷 \frac{d^{2} 𝑔}{d 𝑟^{2}} + (\frac{𝜈 - 1}{𝜏} - 𝐾) 𝑔 (𝑟) = 0 \end{matrix}

3/ Quelles sont les différentes formes de solution pour

𝑔 (𝑟)

? Lesquelles sont compatibles avec les conditions aux limites ? Résoudre l’équation différentielle sur

𝑔 (𝑟)

Coup de pouce 1

Distinguer les cas sur le discriminant et utiliser les conditions aux limites pour trouver les constantes.

Coup de pouce 2

La densité particulaire est une grandeur positive et finie.

Corrigé

Le discriminant de l’équation caractéristique est

\begin{aligned} Δ & = 0^{2} - 4 𝐷 (\frac{𝜈 - 1}{𝜏} - 𝐾) \\ = - 4 𝐷 (\frac{𝜈 - 1}{𝜏} - 𝐾) \end{aligned}

Si $Δ > 0$ , c’est-à-dire si $𝐾 > \frac{𝜈 - 1}{𝜏}$ , les solutions sont de la forme

𝑔 (𝑟) = 𝐴 exp (𝑟 \sqrt{\frac{𝐾 - \frac{𝜈 - 1}{𝜏}}{𝐷}}) + 𝐵 exp (- 𝑟 \sqrt{\frac{𝐾 - \frac{𝜈 - 1}{𝜏}}{𝐷}})

En notant $𝜅 = \sqrt{\frac{𝐾 - \frac{𝜈 - 1}{𝜏}}{𝐷}}$ , la condition $𝑛 (𝑅) = 0$ impose $𝑔 (𝑅) = 0$ , soit $𝐴 𝑒^{𝜅 𝑅} + 𝐵 𝑒^{- 𝜅 𝑅} = 0$ . Comme $𝑛 = 𝑓 𝑔 / 𝑟$ , il faut de plus que $𝑔 (0) = 0$ pour que la densité reste finie en $𝑟 = 0$ , soit $𝐴 + 𝐵 = 0$ . Le système impose alors $𝐴 (𝑒^{𝜅 𝑅} - 𝑒^{- 𝜅 𝑅}) = 0$ , donc $𝐴 = 𝐵 = 0$ : la seule solution est la solution triviale.

Si $Δ = 0$ , c’est-à-dire si $𝐾 = \frac{𝜈 - 1}{𝜏}$ , les solutions sont de la forme $𝑔 (𝑟) = 𝐴 + 𝐵 𝑟$ . La condition $𝑔 (0) = 0$ impose $𝐴 = 0$ , puis $𝑔 (𝑅) = 0$ impose $𝐵 = 0$ . La seule solution est la solution triviale.
Si $Δ < 0$ , c’est-à-dire si $𝐾 < \frac{𝜈 - 1}{𝜏}$ , les solutions sont de la forme $𝑔 (𝑟) = 𝐴 cos (𝑟 \sqrt{\frac{\frac{𝜈 - 1}{𝜏} - 𝐾}{𝐷}}) + 𝐵 sin (𝑟 \sqrt{\frac{\frac{𝜈 - 1}{𝜏} - 𝐾}{𝐷}})$ . La condition $𝑔 (0) = 0$ impose $𝐴 = 0$ . La condition $𝑔 (𝑅) = 0$ impose alors $𝐵 sin (𝑅 \sqrt{\frac{\frac{𝜈 - 1}{𝜏} - 𝐾}{𝐷}}) = 0$ . Pour une solution non triviale, il faut que $sin (𝑅 \sqrt{\frac{\frac{𝜈 - 1}{𝜏} - 𝐾}{𝐷}}) = 0$ , donc $𝑅 \sqrt{\frac{\frac{𝜈 - 1}{𝜏} - 𝐾}{𝐷}} = 𝑘 𝜋$ avec $𝑘 \in ℕ^{*}$ . Les valeurs de $𝑘$ différentes de $1$ donnent lieu à des densités particulaires négatives, donc à écarter.

On en déduit finalement que la seule solution non triviale est obtenue pour $𝑘 = 1$ :

𝑔 (𝑟) = 𝐵 sin (𝜋 \frac{𝑟}{𝑅})

avec

\begin{matrix} 𝑅 \sqrt{\frac{\frac{𝜈 - 1}{𝜏} - 𝐾}{𝐷}} = 𝜋 \\ \frac{\frac{𝜈 - 1}{𝜏} - 𝐾}{𝐷} = {(\frac{𝜋}{𝑅})}^{2} \\ 𝐾 = \frac{𝜈 - 1}{𝜏} - 𝐷 {(\frac{𝜋}{𝑅})}^{2} \end{matrix}

Corrigé

L’équation différentielle sur $𝑓 (𝑡)$ est $\frac{d 𝑓}{d 𝑡} = 𝐾 𝑓 (𝑡)$ . La solution est

𝑓 (𝑡) = 𝑓 (0) exp (𝐾 𝑡)

Coup de pouce 1

À quelle condition la densité particulaire croît-elle exponentiellement avec le temps ?

Corrigé

La réaction s’emballe lorsque la densité particulaire croît exponentiellement avec le temps, c’est-à-dire lorsque $𝐾 > 0$ , c’est-à-dire lorsque

\begin{matrix} \frac{𝜈 - 1}{𝜏} - 𝐷 {(\frac{𝜋}{𝑅})}^{2} > 0 \\ \Leftrightarrow \frac{𝜈 - 1}{𝜏} > 𝐷 {(\frac{𝜋}{𝑅})}^{2} \\ \Leftrightarrow 𝑅^{2} > 𝐷 𝜏 \frac{𝜋^{2}}{𝜈 - 1} \\ \Leftrightarrow 𝑅 > 𝜋 \sqrt{𝐷 \frac{𝜏}{𝜈 - 1}} \end{matrix}

6/ En déduire la masse critique d’uranium 235 nécessaire pour qu’une réaction en chaîne puisse se produire. La masse volumique de l’uranium 235 est

19,1

⁠

g {cm}^{- 3}

, le coefficient de diffusion des neutrons dans l’uranium 235 est

2

⋅105⁠

⁠

m^{2} s^{- 1}

et le temps moyen avant capture d’un neutron est

5,4

⋅10−9⁠

⁠

s

Désintégration de l’uranium 235 ★★