Phénomènes de transport 3
Diffusion de particules

Résumé du cours

1. Transfert de masse

1.1. Particules

Une particule est un petit élément d’un système. Toutes les particules ont une masse, à part les photons.

Exemple 1
Neutron, électron, atome, molécule, ion, grain de pollen, grain de sable

Dans ce chapitre, on s’intéresse aux particules neutres. Les particules chargées sont traitées dans le chapitre « Transport de charge ».

Application 1 ✍
Dans l’exemple ci-dessus, quelles particules sont neutres ?

1.2. Transfert de masse

Transférer de la masse implique transporter des particules massives1.

Deux phénomènes contribuent à transférer de la masse

Transfert par convection

Le transfert par convection a lieu lorsqu’un mouvement macroscopique existe dans un fluide. Les particules présentes dans le fluide sont transportées avec lui.

Exemple 2
Plancton transporté par les courants marins, particules fines transportées par les courants atmosphériques.
Transfert par diffusion
https://www.youtube.com/watch?v=cD3dOlcxVmE

Même en l’absence de mouvement macroscopique, les particules ont un mouvement d’agitation. L’agitation des particules fait migrer les particules des zones de plus forte concentration vers les zones de plus faible concentration.

Exemple 3
Parfum dans une pièce sans courant d’air, encre dans de l’eau au repos.

2. Vecteur densité de courant de particule 𝑗⃗𝑁 et densité particulaire

2.1. Définition

La norme du vecteur densité de courant de particule 𝑗⃗𝑁 est le nombre de particules transportées par unité d’aire et de temps.

Le sens et la direction du vecteur densité de courant de particule 𝑗⃗𝑁 sont le sens et la direction de transport des particules.

Point clé 1 – Nombre de particules traversant une surface élémentaire ♥︎
𝛿2𝑁=𝑗⃗𝑁⋅d𝑆⃗d𝑡
avec 𝑗⃗𝑁 le vecteur densité de courant de particule (m−2 ⁠s−1) ; 𝛿2𝑁 le nombre de particules traversant d𝑆 (sans unité) ; d𝑆 la surface élémentaire (m2).
Point clé 2 – Lien avec la vitesse moyenne ♥︎✍
𝑗⃗𝑁=𝑛𝑣⃗
avec 𝑗⃗𝑁 le vecteur densité de courant de particule (m−2 ⁠s−1) ; 𝑣⃗ la vitesse moyenne des particules (m s−1).

2.2. Débit de particules

Le débit de particules est l’intégrale du vecteur densité de courant de particule sur une surface orientée.

Point clé 3 – Débit de particules ♥︎
Φ=∬𝑆𝑗⃗𝑁⋅d𝑆⃗
avec Φ le débit de particules (s−1) ; 𝑗⃗𝑁 le vecteur densité de courant de particule (m−2 ⁠s−1).

2.3. Densité particulaire

La densité particulaire (ou densité de particules) est le nombre de particules par unité de volume. La densité particulaire se mesure en m−3.

La densité particulaire est une grandeur intensive.

2.4. Loi de Fick

La loi de Fick relie la densité particulaire au vecteur densité de courant de particules diffusées.

Point clé 4 – Loi de Fick ♥︎

Hypothèse : Le transport de particules se fait par diffusion.

𝑗⃗𝑁=−𝐷grad⃗𝑛
avec 𝑗⃗𝑁 le vecteur densité de courant de particule (m−2 ⁠s−1) ; 𝐷 le coefficient de diffusion (m2 s−1) ; 𝑛 la densité particulaire (m−3).

Le signe « − » dans la loi de Fick correspond à un sens de diffusion des zones où il y a le plus de particules vers les zones où il y a le moins de particules.

3. Équation de diffusion

3.1. Bilan de particules

On peut faire le bilan du nombre de particules dans un système : la variation du nombre de particules dans un système est égale au nombre de particules rentrant dans le système plus le nombre de particules créées2 dans le système3.

Exemple 4
Dans un hôpital, en une journée, 253 personnes sont rentrées, 243 sont sorties, 5 sont nées et 2 sont décédées. Le nombre de personnes dans l’hôpital a varié de 253−243+5−2=13.

Faire le bilan de particules sur un système infinitésimal permet de démontrer l’équation locale de conservation du nombre de particules.

Point clé 5 – Équation locale de conservation du nombre de particules ♥︎✍
𝜕𝑛𝜕𝑡=−div 𝑗⃗𝑁+𝑎
avec 𝑛 la densité particulaire (m−3) ; 𝑗⃗𝑁 le vecteur densité de courant de particule (m−2 ⁠s−1) ; 𝑎 le nombre de particules créées par unité de temps et de volume (m−3 ⁠s−1).

3.2. Équation de diffusion

Si on remplace le vecteur densité de courant de particules 𝑗⃗𝑁 grâce à la loi de Fick dans l’équation locale de conservation du nombre de particules, on obtient l’équation de diffusion.

Point clé 6 – Équation de diffusion ♥︎✍

Hypothèse : Les particules sont transportées par diffusion

𝜕𝑛𝜕𝑡−𝐷Δ𝑛=𝑎
avec 𝑛 la densité particulaire (m−3) ; 𝐷 le coefficient de diffusion (m2 s−1) ; 𝑎 le nombre de particules créées par unité de temps et de volume (m−3 ⁠s−1).

3.3. Irréversibilité

L’équation de diffusion n’est pas invariante par renversement du temps. L’équation de diffusion est donc irréversible.

  1. 1Une particule massive est une particule qui a une masse non nulle, c’est-à-dire une particule qui n’est pas un photon.
  2. 2Souvent, les particules ne sont pas créées de rien mais sont le résultat de réactions chimiques ou nucléaires.
  3. 3On compte négativement les particules qui sortent du système ou qui y sont détruites.