Train à sustentation magnétique — Phénomènes de transport 2 : Transfert thermique par conduction

Cet exercice est un problème ouvert. Il nécessite de prendre des initiatives et de faire des choix dans la modélisation. Des approximations et des estimations sont souvent nécessaires pour arriver à une solution.

Dans les trains à sustentation magnétique, le train lévite au-dessus des rails grâce à des forces magnétiques générées par des bobines supraconductrices placées dans le train. Pour que le train puisse léviter, le champ magnétique produit doit dépasser

4

⁠

T

Expliquer pourquoi il n’est pas possible d’utiliser des bobines constituées de fils résistifs pour générer ce champ magnétique.

Corrigé

Si on néglige les effets de bord (un peu limite ici car $0,5$ ⁠⁠ $m$ n’est pas très grand devant $0,2$ ⁠⁠ $m$ mais pas le choix pour pouvoir résoudre), $𝐵 = 𝜇_{0} \frac{𝑁}{𝑙} 𝑖$ .

Pour obtenir un champ magnétique de $4$ ⁠⁠ $T$ , il faut un courant $𝑖 = \frac{𝐵 𝑙}{𝜇_{0} 𝑁} = 2$ ⋅102 A.

Pour illustrer à quel point ce courant est grand pour un câble de $2$ ⁠⁠ $mm$ de diamètre, on va calculer le temps que mettrait ce câble à fondre sous l’effet de l’échauffement par effet Joule. Pour ce faire, on néglige tout échange thermique avec l’extérieur.

La résistance du fil est $𝑅 = \frac{𝑙}{𝛾 𝑆}$ , la puissance dissipée par effet Joule est $𝑃 = 𝑅 𝑖^{2} = \frac{𝑙}{𝛾 𝑆} {(\frac{𝐵 𝑙}{𝜇_{0} 𝑁})}^{2} = \frac{4 𝑙}{𝛾 𝜋 𝑑^{2}} {(\frac{𝐵 𝑙}{𝜇_{0} 𝑁})}^{2}$ .

Le premier principe de la thermodynamique et l’équation calorique donnent $𝑃 d 𝑡 = 𝜇 𝑉 𝑐 d 𝑇 = 𝜇 𝜋 {(\frac{𝑑}{2})}^{2} 𝑙 𝑐 d 𝑇$ soit $\frac{d 𝑇}{d 𝑡} = \frac{4 𝑃}{𝜇 𝜋 𝑑^{2} 𝑙 𝑐}$ . Finalement,

𝑇 (𝑡) = 𝑇_{0} + \frac{4 𝑃}{𝜇 𝜋 𝑑^{2} 𝑙 𝑐} 𝑡 = 𝑇_{0} + \frac{16 𝑙}{𝛾 𝜋^{2} 𝜇 𝑑^{4} 𝑙 𝑐} {(\frac{𝐵 𝑙}{𝜇_{0} 𝑁})}^{2} 𝑡

La fusion du cuivre a lieu lorsque $𝑇 (𝑡) = 𝑇_{𝑓}$ soit

𝑡_{𝑓} = (𝑇_{𝑓} - 𝑇_{0}) \frac{𝛾 𝜇 𝜋^{2} 𝑑^{4} 𝑐}{16} {(\frac{𝜇_{0} 𝑁}{𝐵 𝑙})}^{2} = 9

⋅101 s

Sans système de refroidissement, le fil fondrait en quelques minutes. Il est plus aisé d’utiliser des bobines supraconductrices qui n’ont pas de résistance électrique et donc pas d’échauffement par effet Joule.

Données sur le solénoïde

Diamètre : $0,2$ ⁠⁠ $m$
Longueur : $0,5$ ⁠⁠ $m$
Nombre de spires : $10 000$
Diamètre du fil : $2,0$ ⁠⁠ $mm$

Données sur le cuivre

Masse volumique : $8,96$ ⁠⁠ $g {cm}^{- 3}$
Capacité thermique massique : $385$ ⁠⁠ $J ⁠K {kg}^{- 1}$
Résistivité électrique : $1,68$ ⋅10−8⁠⁠ $Ω ⁠m$
Température de fusion : $1357$ ⁠⁠ $K$

🤔 Train à sustentation magnétique