Fil parcouru par un courant électrique — Phénomènes de transport 2 : Transfert thermique par conduction

Un fil de rayon

𝑅

, de longueur infinie, de conductivité thermique

𝜆

, de conductivité électrique

𝛾

, de capacité thermique massique

𝑐

, de masse volumique

𝜇

est parcouru par un courant électrique constant et uniforme d’intensité

𝐼

On note

{\vec{𝑗}}_{é𝑙𝑒𝑐}

le vecteur densité de courant électrique et

{\vec{𝑗}}_{𝑄}

le vecteur densité de courant thermique.

On suppose que la température ne dépend que de

𝑟

et que le potentiel que de

𝑧

On se placera en coordonnées cylindriques et on supposera le régime stationnaire.

1/ Dans quelle direction se déplacent les charges ? Même question pour la chaleur.

Coup de pouce 1

Utiliser la loi de Fourier et la loi d’Ohm locale.

Corrigé

$𝑗_{élec} = - 𝛾 \vec{grad} 𝑉$ . Comme $𝑉$ ne dépend que de $𝑧$ , ${\vec{𝑗}}_{é𝑙𝑒𝑐}$ est dirigé selon ${\vec{𝑒}}_{𝑧}$ .

$𝑗_{𝑄} = - 𝜆 \vec{grad} 𝑇$ . Comme $𝑇$ ne dépend que de $𝑟$ , ${\vec{𝑗}}_{𝑄}$ est dirigé selon ${\vec{𝑒}}_{𝑟}$ .

2/ Établir l’équation de la diffusion thermique en prenant en compte la puissance produite par effet Joule.

Coup de pouce 1

Faire un bilan d’énergie sur un cylindre creux ou un volume infinitésimal.

Corrigé

En régime stationnaire, le premier principe de la thermodynamique sur un cylindre creux de rayon intérieur $𝑟$ et extérieur $𝑟 + d 𝑟$ de longueur $𝐿$ donne :

d^{2} 𝑈 + d^{2} 𝐸_{𝑐} = 𝛿^{2} 𝑊 + 𝛿^{2} 𝑄

𝜇 (𝑢 (𝑡 + d 𝑡) - 𝑢 (𝑡)) d 𝑉 = \iint_{𝑆_{𝑟}} {\vec{𝑗}}_{𝑄} \cdot \vec{d 𝑆_{𝑟}} d 𝑡 + \iint_{𝑆_{𝑟 + d 𝑟}} {\vec{𝑗}}_{𝑄} \cdot {\vec{d 𝑆}}_{𝑟 + d 𝑟} d 𝑡 + {\vec{𝑗}}_{é𝑙𝑒𝑐} . \vec{𝐸} d 𝑉 d 𝑡

𝜇 \frac{𝜕 𝑢}{𝜕 𝑡} d 𝑡 2 𝜋 𝑟 d 𝑟 𝐿 = 𝑗_{𝑄} (𝑟) 2 𝜋 𝑟 𝐿 d 𝑡 - 𝑗_{𝑄} (𝑟 + d 𝑟) 2 𝜋 (𝑟 + d 𝑟) 𝐿 d 𝑡 + \frac{𝑗_{élec}^{2}}{𝛾} 2 𝜋 𝑟 d 𝑟 𝐿 d 𝑡

En notant $𝑓 : 𝑟 \mapsto 𝑗_{𝑄} (𝑟) 𝑟$ et en utilisant la relation de Taylor, on obtient :

𝜇 \frac{𝜕 𝑢}{𝜕 𝑡} 2 𝜋 𝑟 d 𝑟 𝐿 = - \frac{𝜕 𝑓}{𝜕 𝑟} d 𝑟 2 𝜋 𝐿 + \frac{𝑗_{élec}^{2}}{𝛾} 2 𝜋 𝑟 d 𝑟 𝐿

soit

𝜇 \frac{𝜕 𝑢}{𝜕 𝑡} + \frac{1}{𝑟} \frac{𝜕 𝑟 𝑗_{𝑄} (𝑟)}{𝜕 𝑟} = \frac{𝑗_{élec}^{2}}{𝛾}

On utilise la loi de Fourier et l’équation calorique :

𝜇 𝑐 \frac{𝜕 𝑇}{𝜕 𝑡} - 𝜆 \frac{1}{𝑟} \frac{𝜕 𝑟 \frac{𝜕 𝑇}{𝜕 𝑟}}{𝜕 𝑟} = \frac{𝑗_{élec}^{2}}{𝛾}

Soit, sous forme canonique :

\frac{𝜕 𝑇}{𝜕 𝑡} - 𝐷_{th} \frac{1}{𝑟} \frac{𝜕 𝑟 \frac{𝜕 𝑇}{𝜕 𝑟}}{𝜕 𝑟} = \frac{𝑗_{élec}^{2}}{𝛾 𝜇 𝑐}

avec $𝐷_{th} = \frac{𝜆}{𝜇 𝑐}$ .

3/ Intégrer l’équation de diffusion en régime stationnaire et pour une température extérieure du fil

𝑇_{0}

connue. Tracer

𝑇 (𝑟)

Coup de pouce 1

Utiliser comme condition aux limites le fait que

𝑗

𝑇

ne divergent pas en

0

Corrigé

En régime stationnaire, l’équation de diffusion s’écrit :

\frac{𝜕 𝑟 \frac{𝜕 𝑇}{𝜕 𝑟}}{𝜕 𝑟} = - 𝑟 \frac{𝑗_{élec}^{2}}{𝜆 𝛾}

On intègre :

𝑟 \frac{𝜕 𝑇}{𝜕 𝑟} = - \frac{𝑟^{2}}{2} \frac{𝑗_{élec}^{2}}{𝜆 𝛾} + 𝐶_{1}

\frac{𝜕 𝑇}{𝜕 𝑟} = - \frac{𝑟}{2} \frac{𝑗_{élec}^{2}}{𝜆 𝛾} + \frac{𝐶_{1}}{𝑟}

𝑇 (𝑟) = - \frac{𝑟^{2}}{4} \frac{𝑗_{élec}^{2}}{𝜆 𝛾} + 𝐶_{1} ln (𝑟) + 𝐶_{2}

Pour que $𝑇 (𝑟)$ ne diverge pas en $0$ , il faut que $𝐶_{1} = 0$ .

En utilisant la condition aux limites $𝑇 (𝑅) = 𝑇_{0}$ , on trouve :

𝑇 (𝑟) = 𝑇_{0} + \frac{𝑗_{élec}^{2}}{4 𝜆 𝛾} (𝑅^{2} - 𝑟^{2})

4/ Intégrer l’équation de diffusion en régime stationnaire et avec comme condition aux limites la loi de Newton :

{\vec{𝑗}}_{𝑄} = ℎ (𝑇 (𝑅) - 𝑇_{air}) \vec{𝑒}

où

\vec{𝑒}

est un vecteur unitaire dirigé vers l’extérieur du fil. Calculer la température de surface du fil et la température maximale atteinte en son sein.

Corrigé

La solution est là encore de la forme $𝑇 (𝑟) = - \frac{𝑟^{2}}{4} \frac{𝑗_{élec}^{2}}{𝜆 𝛾} + 𝐶_{2}$ .

{\vec{𝑗}}_{𝑄} = - 𝜆 \vec{grad} 𝑇 = 𝜆 \frac{𝑟}{2} \frac{𝑗_{élec}^{2}}{𝜆 𝛾} {\vec{𝑒}}_{𝑟}

Il y a continuité de ${\vec{𝑗}}_{𝑄}$ en $𝑟 = 𝑅$ :

𝜆 \frac{𝑅}{2} \frac{𝑗_{élec}^{2}}{𝜆 𝛾} {\vec{𝑒}}_{𝑟} = ℎ (- \frac{𝑅^{2}}{4} \frac{𝑗_{élec}^{2}}{𝜆 𝛾} + 𝐶_{2} - 𝑇_{air}) {\vec{𝑒}}_{𝑟}

d’où

𝐶_{2} = 𝑇_{air} + \frac{𝑗_{élec}^{2}}{𝜆 𝛾} (\frac{𝑅^{2}}{4} + 𝜆 \frac{𝑅}{2 ℎ})

La température maximale est atteinte en $𝑟 = 0$ :

𝑇 (0) = 𝐶_{2} = 𝑇_{air} + \frac{𝑗_{élec}^{2}}{𝜆 𝛾} (\frac{𝑅^{2}}{4} + 𝜆 \frac{𝑅}{2 ℎ})

La température de surface est :

𝑇 (𝑅) = 𝑇_{air} + 𝜆 \frac{𝑅}{2 ℎ} \frac{𝑗_{élec}^{2}}{𝜆 𝛾}