Phénomènes de transport 2
Transfert thermique par conduction

Résumé du cours

1. Formulation infinitésimale des principes de la thermodynamique

1.1. La différentielle mathématique

La formule de la différentielle d’une fonction de deux variables peut être généralisée pour un nombre quelconque de variables.

Une quantité $𝐴\mathrm{d}𝑥+𝐵\mathrm{d}𝑦$ est une forme différentielle. On note les formes différentielles avec un $𝛿$ : $𝛿𝑓=𝐴\mathrm{d}𝑥+𝐵\mathrm{d}𝑦$. Une quantité $𝐴\mathrm{d}𝑥+𝐵\mathrm{d}𝑦$ est une différentielle ssi il existe $𝑓$ telle que $\mathrm{d}𝑓=𝐴\mathrm{d}𝑥+𝐵\mathrm{d}𝑦$.

L’intégrale d’une différentielle ne dépend pas du chemin suivi : ${\int }_{\left(𝑃𝑄\right)}\mathrm{d}𝑓=𝑓\left(𝑄\right)-𝑓\left(𝑃\right)$.

L’intégrale d’une forme différentielle ${\int }_{\left(𝑃𝑄\right)}𝛿𝑓$ dépend du chemin suivi.

En physique, les grandeurs notées $\mathrm{d}𝑓$ représentent des variations infinitésimales.

En physique, les grandeurs notées $𝛿𝑓$ représentent des quantités infinitésimales.

Exception : pour les variables d’intégration, cette règle est enfreinte. On note $\mathrm{d}𝑥$, $\mathrm{d}𝑦$, $\mathrm{d}𝑧$ des dimensions, $\mathrm{d}𝑆$ une surface, $\mathrm{d}𝑉$ un volume, $\mathrm{d}𝑡$ une durée alors que ce ne sont pas des variations.

1.2. Premier principe

La variation d’énergie $\mathrm{d}𝐸$ est une petite variation et s’écrit bien avec un d. La chaleur $𝛿𝑄$ et le travail $𝛿𝑊$ sont des petites quantités et s’écrivent bien avec un $𝛿$.

1.3. Second principe

La variation d’entropie $\mathrm{d}\mathrm{𝒮︀}$ est une petite variation et s’écrit bien avec un $𝑑$. La chaleur $𝛿𝑄$, l’entropie échangée $𝛿{\mathrm{𝒮︀}}_{𝑒}$ et l’entropie créée $𝛿{\mathrm{𝒮︀}}_{𝑐}$ sont des petites quantités et s’écrivent bien avec un $𝛿$.

1.4. Équilibre thermodynamique local

1.4.1. Les 3 échelles

Échelle microscopique ($\sim 0$⋅10−10 m)

C’est l’échelle des molécules du système. Ces molécules sont animées d’un mouvement erratique. Les grandeurs thermodynamiques n’ont pas de sens pour une molécule.

Échelle macroscopique ($\sim 0$⋅10−2 m)

C’est l’échelle des systèmes étudiés dans leur ensemble.
Si le système est à l’équilibre thermodynamique, on peut définir ses grandeurs thermodynamiques (température, pression, …) et les étudier comme vu en première année.
Lorsqu’il y a des transferts thermiques à l’intérieur d’un système, ce système n’est pas à l’équilibre thermodynamique. Certaines des grandeurs thermodynamiques de ce système (température, pression, …) ne sont donc pas définies.

Échelle mésoscopique ($\gg 0$⋅10−10 m et $\ll 0$⋅10−2 m)

L’échelle mésoscopique est une échelle intermédiaire entre l’échelle microscopique et l’échelle macroscopique.
Comme l’échelle mésoscopique est très grande devant l’échelle microscopique, les fluctuations dues à l’agitation des molécules sont faibles.
Comme l’échelle mésoscopique est très petite devant l’échelle macroscopique, les grandeurs y sont uniformes (ce sont les mêmes en un point ou un autre du système mésoscopique).

L’échelle mésoscopique sert

• pour décrire les systèmes qui ne sont pas à l’équilibre thermodynamique
• pour passer des propriétés microscopiques aux propriétés macroscopiques

Les grandeurs extensives associées à un système mésoscopique sont notées avec un $𝛿$ car ce sont des quantités infinitésimales : $𝛿𝑈$, $𝛿𝑉$, …

1.4.2. Équilibre thermodynamique local

Si un système macroscopique peut être découpé en systèmes mésoscopiques qui sont tous à l’équilibre thermodynamique, on dit qu’il y a équilibre thermodynamique local. À l’équilibre thermodynamique local, les grandeurs thermodynamiques sont définies pour les systèmes mésoscopiques.

À l’équilibre thermodynamique local, les grandeurs thermodynamiques sont des champs¹. Par exemple, la température au point $𝑀$ $𝑇\left(𝑀\right)$ est définie comme la température d’un système mésoscopique centré sur le point $𝑀$. Cette température existe car à l’équilibre thermodynamique local, tous les systèmes mésoscopiques sont à l’équilibre thermodynamique. De plus, cette température ne dépend pas du choix, arbitraire, du système mésoscopique.

Ces champs n’ont un sens que pour les grandeurs intensives : pour une grandeur extensive, ils dépendraient du choix, arbitraire, du volume mésoscopique. On transforme donc les grandeurs extensives en grandeurs intensives en divisant soit par la masse soit par le volume.

2. Transport de chaleur

2.1. Les 3 modes de transport de chaleur

La chaleur peut se transporter d’un système à un autre de 3 façons :

Par diffusion (= par conduction)

L’énergie se transmet de proche en proche. Le milieu est macroscopiquement immobile.

Par conducto-convection (= par convection)

Un fluide est en mouvement. En se déplaçant, le fluide transporte de l’énergie avec lui.
Le fluide peut se mettre en mouvement spontanément si certaines zones sont plus chaudes que d’autres. Ça s’appelle la convection naturelle.

Exemple 5

L’eau qui chauffe dans la casserole, les courants marins.

Le fluide peut être mis en mouvement par autre chose. Ça s’appelle la convection forcée.

Exemple 6

L’air du sèche-cheveux.

Par rayonnement

Tous les matériaux émettent un rayonnement électromagnétique. La fréquence et l’intensité du rayonnement électromagnétique dépendent de la température du matériau. Le rayonnement électromagnétique transporte de l’énergie. Le rayonnement électromagnétique peut se propager dans le vide ou dans les milieux transparents. Le rayonnement électromagnétique peut être absorbé par un matériau, il lui apporte alors de la chaleur.

Exemple 7

La chaleur du Soleil, les plaques vitro-céramiques.

2.2. Le vecteur densité de courant thermique

Le vecteur densité de courant thermique ${\overrightarrow{𝑗}}_{𝑄}$ est la chaleur transitant par unité de surface et de temps.

La puissance (aussi appelée flux thermique²) qui traverse une surface finie est l’intégrale du flux sur une surface infinitésimale.

2.3. Loi de Fourier

La loi de Fourier est une loi phénoménologique³. La loi de Fourier relie le vecteur densité de courant de chaleur ${\overrightarrow{𝑗}}_{𝑄}$ et la température $𝑇$ dans le cas du transfert thermique par conduction.

La conductivité thermique $𝜆$ permet de mesurer la facilité avec laquelle un matériau transporte la chaleur.

Le signe « $-$ » dans la loi de Fourier traduit le sens de déplacement de la chaleur : toujours du chaud vers le froid.

3. Équation de la diffusion thermique

3.1. Bilan d’énergie

Le premier principe de la thermodynamique traduit la conservation de l’énergie, c’est-à-dire que l’énergie ne peut pas être créée ou détruite, elle ne peut que se transformer d’une forme à l’autre.

Quand une grandeur se conserve, on peut en faire le bilan.

Faire le bilan d’une grandeur dans un système veut dire compter combien de cette grandeur rentre dans ce système et combien y est créée. On ne s’intéresse qu’au flux rentrant car un flux sortant est un flux entrant de sens opposé.

En faisant un bilan sur un volume infinitésimal entre $𝑡$ et $𝑡+𝑑𝑡$, on aboutit à l’équation locale de conservation de l’énergie.

3.2. Équation de la diffusion thermique

Lorsqu’on remplace le vecteur densité de courant thermique ${\overrightarrow{𝑗}}_{𝑄}$ grâce à la loi de Fourier dans l’équation locale de conservation de l’énergie, on aboutit à l’équation de la diffusion thermique.

Le coefficient ${𝐷}_{\text{th}}$ est appelé diffusivité thermique ou coefficient de diffusion thermique.

3.3. Analyse en ordres de grandeurs

Si on analyse en ordres de grandeurs l’équation de diffusion thermique, on peut trouver la durée que met une variation de température à parcourir une certaine distance.

Comme la durée caractéristique dépend de ${𝑙}^2$, l’onde de température ralentit en se propageant : elle met 4 fois plus de temps pour parcourir une distance 2 fois plus grande.

3.4. Irréversibilité

La vidéo du lien ci-dessous illustre l’irréversibilité de différents phénomènes.

https://youtu.be/i6rVHr6OwjI

Si, quand on remplace $𝑡$ par $-𝑡$ dans l’équation on obtient une équation différente, l’équation est irréversible.

Si une vidéo d’un phénomène irréversible est passée à l’envers, on s’en rend compte.

L’équation de la diffusion thermique est irréversible.

3.5. Conditions aux limites

Le flux thermique est toujours continu.

Lorsque la température est continue à une interface, on dit qu’il y a contact thermique parfait.

4. ARQS et résistance thermique

4.1. Approximation du régime quasi-stationnaire (ARQS)

Dans l’ARQS, les grandeurs ne varient pas très vite avec le temps. Dans l’ARQS, on peut négliger les dérivées partielles par rapport au temps ($\frac{𝜕}{𝜕𝑡}$). Dans l’ARQS, la durée que met une variation de température à parcourir le système est très courte devant la durée caractéristique de variation de la température.

4.2. Conservation du flux de ${\overrightarrow{𝑗}}_{𝑄}$

En régime stationnaire, le flux de chaleur est conservatif.

4.3. Résistance thermique

Dans l’ARQS, la différence de température entre les extrémités d’un système est proportionnelle au flux thermique. Le facteur de proportionnalité s’appelle la résistance thermique.

4.4. Association de résistances thermiques

Si deux résistances thermiques sont en série, elles sont traversées par le même flux thermique.

Si deux résistances thermiques sont en parallèle, elles sont soumises à la même différence de température.

4.5. Circuit RC thermique

Le circuit RC thermique correspond à une capacité thermique en contact avec un thermostat à travers une résistance thermique.

4.6. Analogie avec l’électrocinétique

On peut faire une analogie entre l’électrocinétique et la thermique.