Conduction thermique dans un mur

On s’intéresse à un mur de surface 𝑆=30 m2 qui sépare l’intérieur d’une maison de son extérieur. Le mur est constitué d’une épaisseur 𝑒𝑝=30 cm de pierre de conductivité thermique 𝜆𝑝=2,2 W m−1 ⁠K−1 et d’une épaisseur 𝑒𝑙=15 cm de laine de verre de conductivité thermique 𝜆𝑙=0,03 W m−1 ⁠K−1.

L’intérieur de la maison est à une température 𝑇𝑖=20 °C et l’extérieur à 𝑇𝑒=5 °C. Pour un fluide en contact avec un solide, le vecteur densité de courant thermique 𝑗⃗ suit la loi de Newton : 𝑗⃗=ℎ(𝑇𝑠−𝑇∞)𝑒⃗ où 𝑒⃗ est un vecteur unitaire dirigé du solide vers le fluide, ℎ=10 W m−2 ⁠K−1 pour l’air, 𝑇𝑠 la température du solide à sa surface et 𝑇∞ la température du fluide loin du solide. Le contact thermique entre la pierre et la laine de verre est parfait.

L’étude s’intéresse au régime stationnaire.

1/ Quelles sont les conditions aux limites vérifiées à chaque interface (par 𝑇 ou par 𝑗⃗) ?

Coup de pouce 1
À quelle condition 𝑗⃗ est-il continu ?
Coup de pouce 2
À quelle condition 𝑇 est-il continu ?
Corrigé

Le contact thermique entre la pierre et la laine de verre est parfait donc 𝑇 est continu à l’interface pierre/laine de verre.

Le vecteur densité de courant thermique 𝑗⃗𝑄 est continu à chaque interface.

2/ Calculer la résistance thermique associée à chaque partie du mur (en pierre et en laine de verre).

Coup de pouce 1
Appliquer la formule du cours reliant résistance thermique, épaisseur, surface et conductivité thermique.
Corrigé

La résistance thermique d’une couche plane de matériau est donnée par la formule 𝑅th=𝑒𝜆𝑆 où 𝑒 est l’épaisseur, 𝜆 la conductivité thermique et 𝑆 la surface.

Pour la pierre :

𝑅th,pierre=𝑒𝑝𝜆𝑝𝑆=4,5⋅10−3 K W−1

Pour la laine de verre :

𝑅th,laine=𝑒𝑙𝜆𝑙𝑆=2⋅10−1 K W−1

3/ Montrer que la loi de Newton peut donner lieu à une résistance thermique qu’on précisera.

Coup de pouce 1
Exprimer la différence de température en fonction du flux thermique pour la loi de Newton.
Corrigé

La loi de Newton s’écrit 𝑗⃗=ℎ(𝑇𝑠−𝑇∞)𝑒⃗. Le flux thermique s’écrit donc Φ=𝑆𝑗=ℎ𝑆(𝑇𝑠−𝑇∞).

On peut réécrire cette relation sous la forme 𝑇𝑠−𝑇∞=Φℎ𝑆.

On en déduit que la résistance thermique associée au transfert thermique entre le solide et le fluide est 𝑅th,conv=1ℎ𝑆.

4/ Tracer le circuit équivalent et calculer la résistance équivalente.

Coup de pouce 1
Le circuit comporte 4 résistances thermiques.
Corrigé

Les résistances thermiques sont en série. La résistance thermique équivalente est donc la somme des résistances thermiques :

𝑅th,eq=𝑅th,conv+𝑅th,pierre+𝑅th,laine+𝑅th,conv=2⋅10−1 K W−1

5/ Si on suppose que les seules pertes thermiques de la pièce sont celles traversant le mur, quelle puissance doit fournir le radiateur de la pièce ?

Coup de pouce 1
Calculer le flux total traversant le mur.
Coup de pouce 2
Effectuer un bilan d’énergie sur l’intérieur de la maison pour montrer que la puissance fournie par le chauffage doit compenser exactement la puissance perdue par les murs.
Corrigé

La puissance thermique perdue par le mur est donnée par la loi d’Ohm thermique : Φ=𝑇𝑖−𝑇𝑒𝑅th,eq.

On trouve :

Φ=8⋅101 W

Pour maintenir la température intérieure constante, le radiateur doit fournir une puissance égale à cette puissance perdue. En effet, en régime stationnaire, le bilan d’énergie sur l’intérieur de la maison impose que la puissance fournie par le chauffage compense exactement la puissance perdue par les murs.