Ailette de refroidissement — Phénomènes de transport 2 : Transfert thermique par conduction

La performance des puces électroniques utilisées dans les ordinateurs décroit avec leur température. Afin de dissiper une puissance élevée en limitant la température du composant, on installe un dissipateur de chaleur. Ce dissipateur est muni d’ailettes de refroidissement. On étudie une de ces ailettes.

Une ailette de refroidissement en aluminium de conductivité thermique

𝜆 = 205 W m^{- 1} ⁠ K^{- 1}

est fixée en

𝑥 = 0

à un corps dont la température

𝑇_{0} = 70 °C

est constante et avec lequel le contact thermique est parfait. Elle baigne dans l’air ambiant de température

𝑇_{𝑎} = 20 °C

. L’ailette est en forme de parallélépipède, d’épaisseur

𝑒 = 1 mm

, de largeur

𝑎 = 5 cm

et de longueur

𝑙 = 10 cm

1/ Montrer que l’équation différentielle vérifiée par

𝑇 (𝑥)

peut se mettre sous la forme

\frac{𝜕^{2} 𝑇}{𝜕 𝑥^{2}} - \frac{𝑇 (𝑥) - 𝑇_{𝑎}}{𝐿^{2}} = 0

où on exprimera

𝐿

en fonction de

𝜆

ℎ

𝑒

. Calculer la valeur numérique de

𝐿

Coup de pouce 1

Faire un bilan d’énergie sur une tranche de longueur infinitésimale. Quels sont les 3 flux thermiques entrant dans cette tranche ?

Coup de pouce 2

Dans une tranche infinitésimale d’ailette, de la puissance rentre par conduction en

𝑥

et en

𝑥 + d 𝑥

et par conducto-convection sur les 4 parois latérales.

Corrigé

On applique le premier principe de la thermodynamique à une tranche d’ailette de longueur $d 𝑥$ :

\begin{aligned} 0 & = 𝛿^{2} 𝑄 = 𝑗_{𝑄 (𝑥)} 𝑒 𝑎 d 𝑡 - 𝑗_{𝑄 (𝑥 + d 𝑥)} 𝑒 𝑎 d 𝑡 - 𝛿 𝑃 d 𝑡 \\ = - \frac{𝜕 𝑗_{𝑄}}{𝜕 𝑥} 𝑒 𝑎 d 𝑥 d 𝑡 - ℎ (𝑇 (𝑥) - 𝑇_{𝑎}) 2 (𝑒 + 𝑎) d 𝑥 d 𝑡 \\ = 𝜆 \frac{𝜕^{2} 𝑇}{𝜕 𝑥^{2}} 𝑒 𝑎 d 𝑥 d 𝑡 - ℎ (𝑇 (𝑥) - 𝑇_{𝑎}) 2 (𝑒 + 𝑎) d 𝑥 d 𝑡 \end{aligned}

d’où

\frac{𝜕^{2} 𝑇}{𝜕 𝑥^{2}} - (𝑇 (𝑥) - 𝑇_{𝑎}) \frac{2 (𝑒 + 𝑎) ℎ}{𝜆 𝑒 𝑎} = 0

qu’on peut écrire sous la forme demandée en posant

𝐿 = \sqrt{\frac{𝜆 𝑒 𝑎}{2 (𝑒 + 𝑎) ℎ}} \approx \sqrt{\frac{𝜆 𝑒 𝑎}{2 𝑎 ℎ}} = \sqrt{\frac{𝜆 𝑒}{2 ℎ}}

2/ Justifier les deux conditions aux limites suivantes :

𝑇 (0) = 𝑇_{0}

- 𝜆 \frac{𝜕 𝑇}{𝜕 𝑥} (𝑥 = 𝑙) = ℎ (𝑇 (𝑙) - 𝑇_{𝑎})

Coup de pouce 1

Écrire la continuité du flux thermique en

𝑥 = 𝑙

Corrigé

Le contact thermique étant parfait en $𝑥 = 0$ , la température de l’ailette est égale à celle du corps : $𝑇 (0) = 𝑇_{0}$ .

En $𝑥 = 𝑙$ , le flux thermique par conduction dans l’ailette est égal au flux thermique cédé à l’air par conducto-convection :

\begin{matrix} 𝑗_{𝑄} (𝑥 = 𝑙) = ℎ (𝑇 (𝑙) - 𝑇_{𝑎}) \\ - 𝜆 \frac{𝜕 𝑇}{𝜕 𝑥} (𝑥 = 𝑙) = ℎ (𝑇 (𝑙) - 𝑇_{𝑎}) \end{matrix}

Pour résoudre l’équation différentielle numériquement, on cherche à la mettre sous la forme d’un problème d’Euler

\frac{d \vec{𝑌}}{d 𝑥} = \vec{𝐹} (𝑥, \vec{𝑌})

où

\vec{𝑌} = (\begin{matrix} 𝑇 \\ \frac{d 𝑇}{d 𝑥} \end{matrix})

Coup de pouce 1

Résoudre l’équation différentielle et utiliser les conditions aux limites pour trouver les constantes.

Corrigé

L’équation différentielle s’écrit sous la forme :

\frac{d^{2} 𝑇}{d 𝑥^{2}} = \frac{𝑇 - 𝑇_{𝑎}}{𝐿^{2}}

On a donc

\frac{d \vec{𝑌}}{d 𝑥} = \frac{d}{d 𝑥} (\begin{matrix} 𝑇 \\ \frac{d 𝑇}{d 𝑥} \end{matrix}) = (\begin{matrix} \frac{d 𝑇}{d 𝑥} \\ \frac{d^{2} 𝑇}{d 𝑥^{2}} \end{matrix}) = (\begin{matrix} \frac{d 𝑇}{d 𝑥} \\ \frac{𝑇 - 𝑇_{𝑎}}{𝐿^{2}} \end{matrix})

La fonction $\vec{𝐹}$ est donc : $\vec{𝐹} : (𝑥, (\begin{matrix} 𝑢 \\ 𝑣 \end{matrix})) \mapsto (\begin{matrix} 𝑣 \\ \frac{𝑢 - 𝑇_{𝑎}}{𝐿^{2}} \end{matrix})$

4/ Compléter le code Python ci-dessous pour définir la fonction

\vec{𝐹}

Corrigé

def F(x, Y):
    return np.array( [Y[1], (Y[0]-Ta)/L**2] )

Pour résoudre le problème aux limites, on utilise la fonction solve_bvp de la bibliothèque scipy.integrate. Cette fonction a besoin des conditions aux limites sous la forme d’une fonction bc (pour boundary conditions).

Cette fonction bc(Y0, Yl) prend en argument les valeurs de la solution aux deux extrémités du domaine (en

𝑥 = 0

𝑥 = 𝑙

) et doit retourner un tableau contenant les écarts par rapport aux conditions aux limites (lorsque les conditions aux limites sont satisfaites, bc doit retourner un tableau de zéros).

Corrigé

def bc(Y0, Yl):
    return np.array( [Y0[0]-T0, -lam*Yl[1]-h*(Yl[0]-Ta)] )

On peut maintenant résoudre le problème aux limites en utilisant la fonction solve_bvp.

6/ Compléter le code Python ci-dessous pour résoudre le problème aux limites.

Corrigé

x = np.linspace(0, l, N)
Y = np.zeros((2, N)) + T0

Corrigé

plt.plot(x, T)
plt.xlabel("x (m)")
plt.ylabel("T (Celsius)")
plt.title("Température le long de l'ailette")
plt.grid()
plt.show()

Compléter le code Python ci-dessous pour calculer cette puissance. On utilisera la fonction trapezoid de la bibliothèque scipy.integrate pour effectuer l’intégration numérique. Cette fonction prend en argument un tableau de valeurs de la fonction à intégrer et un tableau des abscisses correspondantes.

Corrigé

La puissance dissipée sur les surfaces avant et arrière (d’aire $𝑙 𝑒$ ) est négligeable devant celle dissipée sur les surfaces haute et basse (d’aire $𝑙 𝑎$ ) car $𝑎 ≫ 𝑒$ . Idem pour la surface de droite (d’aire $𝑎 𝑒$ ).

La puissance dissipée par l’ailette est donc donnée par

𝑃 \approx \int_{𝑥 = 0}^{𝑙} 𝛿 𝑃 = \int_{𝑥 = 0}^{𝑙} 2 𝑎 ℎ (𝑇 (𝑥) - 𝑇_{𝑎}) d 𝑥

P = trapezoid( 2*a*h*(T-Ta), x ) # calcul de la puissance dissipée

9/ On aurait pu aussi calculer la puissance dissipée par l’ailette en calculant

Expliquer pourquoi, puis compléter le code Python ci-dessous pour calculer cette puissance et vérifier qu’on retrouve le même résultat.

Corrigé

L’ailette étant en régime stationnaire, la puissance qui entre par conduction en $𝑥 = 0$ est égale à la puissance dissipée par l’ailette.

dT = res.y[1] # On récupère la dérivée de T en x=0 à partir de la solution numérique
P2 = -lam * a * e * dT[0] # calcul de la puissance dissipée

🖥️ Ailette de refroidissement ★