Résistance à film de carbone — Phénomènes de transport 1 : Transport de charge

🤔 Résistance à film de carbone ★★

Cet exercice est un problème ouvert. Il nécessite de prendre des initiatives et de faire des choix dans la modélisation. Des approximations et des estimations sont souvent nécessaires pour arriver à une solution.

Les résistances à film de carbone (qui sont celles utilisées en travaux pratiques) sont constituées d’un cylindre en céramique recouvert d’un film de graphite ( $𝛾 = 2$ ⋅104 S m−1) de $200$ ⁠⁠ $µm$ d’épaisseur, découpé en spirale. Le pas de la spirale est ajusté pour obtenir la résistance désirée.

Quel pas la spirale doit-elle avoir pour obtenir une résistance de $1$ ⁠⁠ $kΩ$ ?

Coup de pouce 1

Exprimer la résistance en fonction de la résistivité, de la longueur et de la section.

Coup de pouce 2

Exprimer la longueur de la spirale en fonction du pas, du rayon et de la hauteur du cylindre.

Corrigé

Le résistor a une longueur $ℎ = 16 mm$ et un rayon $𝑟 = 4 mm$ .

La spirale déroulée sera un parallélépipède de largeur $𝑙$ et de longueur $𝐿$ . La surface reste la même une fois déroulée donc $𝑙 𝐿 = 2 𝜋 𝑟 ℎ$ . On en déduit que $𝐿 = \frac{2 𝜋 𝑟 ℎ}{𝑙}$ .

La résistance est $𝑅 = \frac{𝐿}{𝑒 𝑙 𝛾} = \frac{2 𝜋 𝑟 ℎ}{𝑒 𝑙^{2} 𝛾}$ d’où

𝑙 = \sqrt{\frac{2 𝜋 𝑟 ℎ}{𝑒 𝑅 𝛾}} = 3

⋅10−4 m