Paratonnerre — Phénomènes de transport 1 : Transport de charge

Un paratonnerre est relié à une demi-boule métallique supposée parfaitement conductrice qui sert de contact entre le paratonnerre et le sol. Le sol a une conductivité

𝛾 = 1

⋅10−2 S m−1. On se place en régime stationnaire.

1/ Justifier que

\vec{𝑗}

est à flux conservatif. En déduire la dépendance en

𝑟

\vec{𝑗}

Coup de pouce 1

Exprimer le courant passant dans une demi-sphère dans le sol, de rayon

𝑟

en fonction de

𝑟

𝑗

. Ce courant dépend-il de

𝑟

Corrigé

L’énoncé précise que le régime est stationnaire. Dans ce cas, $\vec{𝑗}$ est à flux conservatif.

Le courant $𝐼$ traversant une demi-sphère de rayon $𝑟 > 𝑅$ est donc le même quel que soit $𝑟$ (il ne dépend pas de $𝑟$ ).

𝐼 = \iint_{𝑆_{𝑟}} \vec{𝑗} \cdot \vec{d 𝑆} = 2 𝜋 𝑟^{2} 𝑗 (𝑟)

d’où

𝑗 (𝑟) = \frac{𝐼}{2 𝜋 𝑟^{2}}

2/ En déduire l’expression de

𝑉 (𝑟)

en supposant que

𝑉

vaut

0

à l’infini.

Coup de pouce 1

Utiliser la loi d’Ohm locale.

Coup de pouce 2

Déterminer la circulation du champ électrique entre

𝑟

+ \infty

Corrigé

La loi d’Ohm locale s’écrit $\vec{𝑗} = 𝛾 \vec{𝐸}$ d’où

𝐸 (𝑟) = \frac{𝑗 (𝑟)}{𝛾} = \frac{𝐼}{2 𝜋 𝛾 𝑟^{2}}

La différence de potentiel entre $𝑟$ et l’infini est

\begin{aligned} 𝑉 (𝑟) & = 𝑉 (𝑟) - 𝑉 (+ \infty) = \int_{𝑟}^{+ \infty} 𝐸 (𝑟) d 𝑟 \\ = \frac{𝐼}{2 𝜋 𝛾} \int_{𝑟}^{+ \infty} \frac{1}{𝑟^{2}} d 𝑟 \\ = \frac{𝐼}{2 𝜋 𝛾} {[- \frac{1}{𝑟}]}_{𝑟}^{+ \infty} \\ = \frac{𝐼}{2 𝜋 𝛾 𝑟} \end{aligned}

3/ Exprimer le potentiel du paratonnerre en fonction du courant qui le parcourt et introduire la “résistance du sol”.

Coup de pouce 1

Que donne la relation précédente en prenant

𝑟 = 𝑅

Corrigé

Le potentiel du paratonnerre est

𝑉 (𝑅) = \frac{𝐼}{2 𝜋 𝛾 𝑅} = 𝑅_{sol} 𝐼

avec

𝑅_{sol} = \frac{1}{2 𝜋 𝛾 𝑅}

4/ Cette résistance ne doit pas dépasser

30

⁠

Ω

. Déterminer le rayon minimum de la demi-sphère.

Corrigé

𝑅 = \frac{1}{2 𝜋 𝛾 𝑅_{sol}} = 5,3

⋅10−1 m

5/ Pour un éclair, le courant peut atteindre

300

⁠

kA

. Tracer

𝑉 (𝑟)

et faire l’application numérique de

𝑉 (𝑅)

pour une résistance du sol de

30

⁠

Ω

Corrigé

𝑉 (𝑅) = 𝑅_{sol} 𝐼 = 9,0

⋅106 V

6/ Une personne qui n’a pas les deux pieds à la même distance de la demi-sphère peut avoir ses pieds à un potentiel différent. Sachant que la résistance entre ses pieds est de l’ordre

5

⁠

kΩ

et qu’un courant de

25

⁠

mA

à travers le corps peut être dangereux, calculer la distance minimum à laquelle un homme doit se tenir de la demi-sphère en cas d’orage. Comparer à la valeur proposée sur la photo et proposer une explication à l’éventuel écart.

Coup de pouce 1

Calculer la différence de potentiel maximale admissible entre deux pieds d’un être humain.

Coup de pouce 2

Quelle distance

𝑑

y a-t-il typiquement entre deux pieds ?

Coup de pouce 3

Dans le pire des cas, les pieds sont “l’un derrière l’autre” : leurs coordonnées

𝑟

sont séparées de

𝑑

Corrigé

La différence de potentiel maximale admissible entre les deux pieds est

𝑉_{max} = 𝑅_{corps} 𝐼_{seuil} = 125 V

La distance typique entre les deux pieds est d’environ $𝑑 = 0,3 m$ .

Dans le pire des cas, les pieds sont l’un derrière l’autre : leurs coordonnées $𝑟$ sont séparées de $𝑑$ . On a donc

\begin{aligned} 𝑉 (𝑟) - 𝑉 (𝑟 + 𝑑) & = \frac{𝐼}{2 𝜋 𝛾} (\frac{1}{𝑟} - \frac{1}{𝑟 + 𝑑}) \\ = \frac{𝐼}{2 𝜋 𝛾} (\frac{𝑑}{𝑟 (𝑟 + 𝑑)}) \end{aligned}

En imposant que cette différence de potentiel soit inférieure à $𝑉_{max}$ , on trouve

\begin{aligned} 𝑟 (𝑟 + 𝑑) & \geq 𝐼 \frac{𝑑}{2 𝜋 𝛾 𝑉_{max}} \\ 𝑟^{2} + 𝑑 𝑟 - 𝐼 \frac{𝑑}{2 𝜋 𝛾 𝑉_{max}} & \geq 0 \end{aligned}

Les racines sont $𝑟 = \frac{- 𝑑 \pm \sqrt{𝑑^{2} + 4 𝐼 \frac{𝑑}{2 𝜋 𝛾 𝑉_{max}}}}{2}$ La solution positive est

𝑟_{min} = \frac{- 𝑑 + \sqrt{𝑑^{2} + 4 𝐼 \frac{𝑑}{2 𝜋 𝛾 𝑉_{max}}}}{2} = 1,1

⋅102 m

Selon ce modèle, il faudrait se tenir à plus de $1,1$ ⋅102⁠⁠ $m$ de la demi-sphère. Sur la photo, la distance est beaucoup plus faible. Cela peut s’expliquer par le fait que l’étude a été faite en régime stationnaire, ce qui n’est pas le cas pour un éclair.

Paratonnerre ★