Magnéto-résistance ★★

On considère un cylindre creux plongé dans un champ magnétique uniforme et stationnaire ${\overrightarrow{𝐵}}_0={𝐵}_0{\overrightarrow{𝑒}}_{𝑧}$. Le cylindre est un conducteur ohmique de conductivité $𝛾$ et de potentiel ${𝑉}_1$ à l’intérieur (rayon ${𝑅}_1$) et ${𝑉}_2<{𝑉}_1$ à l’extérieur (rayon ${𝑅}_2$). Le courant total est $𝐼$. Le champ électrique est supposé purement radial : $\overrightarrow{𝐸}=𝐸{\overrightarrow{𝑒}}_{𝑟}$.

1/ On suppose le problème invariant par translation selon $𝑧$. En s’intéressant aux bords supérieurs du cylindre, quelle conséquence cela a-t-il sur le champ de vitesses $\overrightarrow{𝑣}$ des porteurs de charges ?

On note $\overrightarrow{𝑣}={𝑣}_{𝑟}{\overrightarrow{𝑒}}_{𝑟}+{𝑣}_{𝜃}{\overrightarrow{𝑒}}_{𝜃}$.

2/ En reprenant le modèle de Drude, déterminer l’expression de la vitesse $\overrightarrow{𝑣}$ des porteurs de charges puis $\overrightarrow{𝑗}$.

3/ Déterminer l’expression de la résistance $𝑅$ du système.