Effet Hall — Phénomènes de transport 1 : Transport de charge

On considère un conducteur ohmique parallélépipédique parcouru par un courant

𝐼

de vecteur densité de courant

\vec{𝑗}

uniforme et suivant

{\vec{𝑒}}_{𝑦}

. Ce conducteur est plongé dans un champ magnétique

\vec{𝐵}

uniforme, stationnaire et dirigé par

{\vec{𝑒}}_{𝑧}

1/ Faire un bilan des forces s’exerçant sur un électron du conducteur ohmique.

Coup de pouce 1

Le poids peut être négligé. La composante magnétique et la composante électrique de la force de Lorentz sont toutes deux non-nulles.

Corrigé

$(- 𝑒) \vec{𝐸} + (- 𝑒) \vec{𝑣} \land \vec{𝐵}$
$- \frac{𝑚_{𝑒}}{𝜏} \vec{𝑣}$
poids (négligé)

2/ En régime stationnaire, les lignes de courant sont suivant

{\vec{𝑒}}_{𝑦}

. En déduire une expression de la composante

𝐸_{𝑥}

du champ électrique suivant

{\vec{𝑒}}_{𝑥}

en fonction de la charge

𝑒

d’un porteur, de leur densité

𝑛

, de

\vec{𝑗}

et de

\vec{𝐵}

Coup de pouce 1

Projeter le théorème de la quantité de mouvement suivant

{\vec{𝑒}}_{𝑥}

Corrigé

Si les lignes de courant sont selon ${\vec{𝑒}}_{𝑦}$ , comme $\vec{𝑗} = 𝜌_{mobile} \vec{𝑣}$ , la vitesse est selon ${\vec{𝑒}}_{𝑦}$ également. La seconde loi de Newton dans le référentiel du parallèlépipède s’écrit

𝑚_{𝑒} \frac{d \vec{𝑣}}{d 𝑡} = (- 𝑒) \vec{𝐸} + (- 𝑒) \vec{𝑣} \land \vec{𝐵} - \frac{𝑚_{𝑒}}{𝜏} \vec{𝑣}

En projection sur ${\vec{𝑒}}_{𝑥}$ , il reste

0 = - 𝑒 𝐸_{𝑥} + (- 𝑒) 𝑣 𝐵

d’où $𝐸_{𝑥} = - 𝑣 𝐵$ or $\vec{𝑗} = 𝑛 (- 𝑒) 𝑣$ , soit $𝑣 = - \frac{1}{𝑛 𝑒} 𝑗$ , d’où

𝐸_{𝑥} = \frac{1}{𝑛 𝑒} 𝑗 𝐵

3/ En déduire la différence de potentiel existant entre les faces

𝑥 = - \frac{𝑎}{2}

𝑥 = \frac{𝑎}{2}

. L’exprimer en fonction de

𝐼

et d’un paramètre qu’on notera

𝑅_{Hall}

et dont on donnera l’unité.

Coup de pouce 1

Relier la circulation du champ électrique à la différence de potentiel.

Corrigé

On souhaite passer d’une relation locale à une relation globale. Comme $𝐼 = \iint \vec{𝑗} \cdot \vec{d 𝑆}$ , on intègre selon $𝑥$ et $𝑧$ pour faire apparaitre $𝐼$ .

\begin{aligned} \int_{𝑧 = - \frac{𝑏}{2}}^{\frac{𝑏}{2}} \int_{𝑥 = - \frac{𝑎}{2}}^{\frac{𝑎}{2}} 𝐸_{𝑥} d 𝑥 d 𝑧 & = \int_{𝑧 = - \frac{𝑏}{2}}^{\frac{𝑏}{2}} \int_{𝑥 = - \frac{𝑎}{2}}^{\frac{𝑎}{2}} \frac{1}{𝑛 𝑒} 𝑗 𝐵 d 𝑥 d 𝑧 \\ 𝑏 \int_{- \frac{𝑎}{2}}^{\frac{𝑎}{2}} - \frac{𝜕 𝑉}{𝜕 𝑥} d 𝑥 & = \frac{𝐵}{𝑛 𝑒} \iint 𝑗 d 𝑆 \\ - 𝑏 (𝑉 (\frac{𝑎}{2}) - 𝑉 (- \frac{𝑎}{2})) & = \frac{𝐵}{𝑛 𝑒} 𝐼 \end{aligned}

On en déduit la différence de potentiel

𝑈 = 𝑉 (- \frac{𝑎}{2}) - 𝑉 (\frac{𝑎}{2}) = 𝐵 \frac{𝐼}{𝑛 𝑒 𝑏} = 𝑅_{Hall} 𝐼

avec

𝑅_{Hall} = \frac{𝐵}{𝑛 𝑒 𝑏}

$𝑅_{Hall}$ se mesure en $T ⁠ m^{3} A^{- 1} ⁠ s^{- 1} ⁠ m^{- 1}$ , or l’équation de Maxwell-Faraday nous apprend que $T s^{- 1} = V m^{- 2}$ . Donc l’unité de $𝑅_{Hall}$ est

V ⁠ m^{2} m^{- 2} ⁠ A^{- 1} = V A^{- 1} = Ω

Évaluer la valeur de

𝑅_{Hall}

pour le champ magnétique terrestre dans le cas du cuivre (

𝑀_{Cu} = 63,5 g {mol}^{- 1}

;

𝜇_{Cu} = 8,96 g {cm}^{- 3}

) puis d’un semi-conducteur de densité particulaire de porteurs

𝑛 = 1,6

⋅1022 m−3. Est-il possible d’utiliser ce dispositif pour mesurer le champ magnétique terrestre dans les deux cas ?

Corrigé

Le champ magnétique terrestre vaut environ $𝐵 = 5$ ⋅10−5 T.

Pour le cuivre, on calcule la densité volumique de charges

𝑛_{Cu} = \frac{𝜇 {𝒩︀}_{𝑎}}{𝑀} = 8

⋅1028 m−3

d’où

𝑅_{Hall, Cu} = \frac{𝐵}{𝑛 𝑒 𝑏} = 4

⋅10−12 Ω

Ce qui est extrêmement faible et difficilement mesurable.

Pour le semi-conducteur,

𝑅_{Hall, semi-conducteur} = \frac{𝐵}{𝑛 𝑒 𝑏} = 2

⋅10−5 Ω

Ce qui est plus grand mais reste faible. Cependant, avec un courant suffisamment grand et un voltmètre assez sensible, il est possible de mesurer cette différence de potentiel.