TP – Échantillonnage et analyse spectrale

1. Introduction

La mesure d’un signal, qualifié « d’analogique », se réalise en général à l’aide d’un « capteur » auquel il faut souvent ajouter un « adaptateur ». Par exemple un microphone ne délivrera une tension que de l’ordre du $\text{mV}$, il faudra donc l’amplifier.

Si l’on désire réaliser un traitement numérique de ce signal, une conversion « analogique-numérique » (« CAN ») doit être réalisée. C’est par exemple ce que réalise une carte d’acquisition. On peut représenter l’ensemble de la chaine d’acquisition ainsi :

2. Première approche du critère de Shannon

L’échantillonnage est l’opération qui consiste à mesurer un signal en capturant des valeurs à intervalles réguliers.

L’intervalle de mesure s’appelle la période d’échantillonnage, notée ${𝑇}_{𝑒}$. Se pose alors la question de savoir si les échantillons sont représentatifs du signal initial.

Parfois, dans les vidéos montrant des objets tournant (roues de voiture, pales d’hélicoptère, …), ceux-ci ne semblent pas tourner à la « bonne » vitesse, voire dans le mauvais sens. Cela est dû à une inadéquation entre la fréquence de rafraichissement des images (24 images par seconde en général), la vitesse de rotation et le nombre de barreaux des roues. Voir par exemple : https://youtu.be/C6f0tTdba8Y?feature=shared&t=107

À la suite des constatations précédentes, on admet le théorème de Nyquist-Shannon :

3. Choix d’une fréquence d’échantillonnage

Pour visualiser l’influence de la fréquence d’échantillonnage sur l’acquisition, on va acquérir un signal sinusoïdal de fréquence $10$⁠$\hspace{0.17em}$⁠$\text{kHz}$ connue produit par un GBF puis en tracer le spectre grâce à Latis-Pro (voir Annexe A).

Lorsque la fréquence d’échantillonnage n’est pas suffisante, la fréquence mesurée sur le spectre n’est pas la fréquence réelle du signal. On dit qu’il y a repliement du spectre.

4. Lien entre paramètres d’acquisition et paramètres du spectre

L’acquisition est réglée par 3 nombres :

• le nombre de points $𝑁$
• la période d’échantillonnage (durée entre deux points) ${𝑇}_{𝑒}$
• la durée de l’acquisition $𝐷$

On a donc 2 « degrés de liberté » sur l’acquisition. Lorsqu’on change un des trois paramètres dans le logiciel d’acquisition, un des deux autres est nécessairement modifié.

4.1. Durée d’acquisition et résolution spectrale

La résolution spectrale (écart de fréquence entre 2 points successifs sur le spectre) est liée à la durée de l’acquisition.

Si on veut plus de détails sur le spectre, il faut acquérir plus longtemps.

4.2. Période d’échantillonnage et étendue spectrale

La fréquence la plus grande observable sur le spectre est la fréquence donnée par le critère de Shannon : $\frac{{𝑓}_{𝑒}}{2}$.

Si on veut observer des fréquences plus élevées, il faut acquérir plus vite.

5. Calcul de spectre avec Python

Le calcul du spectre à partir du signal est effectué avec un algorithme appelé FFT (Fast Fourier Transform). Cet algorithme, de complexité quasi-linéaire et utilisant le principe « diviser pour régner », est implanté par exemple dans les oscilloscopes numériques, dans Latis-Pro et dans la bibliothèque numpy de Python, notamment les fonctions np.fft.rfft et np.fft.rfftfreq.

Le spectre d’un signal peut être calculé à partir des lignes suivantes, à supposer que le signal soit dans la variable s et la période d’échantillonnage dans la variable Te.

import numpy as np
s_fourier = np.abs(np.fft.rfft(s)) # Calcul de spectre
freqs = np.fft.rfftfreq(len(s), Te) # Calcul des fréquences en Hz

6. Visualisation du critère de Shannon avec Python

On souhaite tracer le signal $cos\left(2𝜋𝑓𝑡\right)$ avec $𝑓=100\hspace{0.17em}\text{Hz}$ sur une durée de $0\text{,5}\hspace{0.17em}\text{s}$. Réaliser le tracé pour des périodes d’échantillonnage de $0\text{,001}$⁠$\hspace{0.17em}$⁠$\text{s}$, $0\text{,01}$⁠$\hspace{0.17em}$⁠$\text{s}$ et $0\text{,011}$⁠$\hspace{0.17em}$⁠$\text{s}$. On pourra utiliser les fonctions arange ou linspace pour créer les vecteurs de temps.

Annexe A : Tracé de spectre avec Latis-Pro

Pour tracer le spectre avec Latis-Pro, il faut cliquer sur « Traitements » puis « Calculs spécifiques » puis « Analyse de Fourier » ou appuyer sur la touche F6 du clavier. Une fenêtre s’ouvre alors. On peut alors ouvrir le menu « Avancé » et mettre le niveau de validité¹ à $0$⁠$\hspace{0.17em}$⁠$\text{\%}$. Il ne reste alors plus qu’à faire glisser la courbe dont on souhaite tracer le spectre dans le cadre « Courbe ».

Annexe B : Transférer des données de à Python

Pour traiter avec Python des données acquise avec Latis-Pro, il faut les exporter (« Fichier » puis « Exportation »). Le format le plus pratique est le format TXT, avec comme séparateur décimal le point et entre les données le point-virgule. Il faut ensuite faire glisser les courbes à exporter vers la colonne de droite.

Pour importer les données avec Python, on utilise la fonction loadtxt de la bibliothèque numpy. Le paramètre skiprows permet d’ignorer les premières lignes qui contiennent des en-têtes (une seule pour Latis-Pro).

data = np.loadtxt(nom_fichier, skiprows = 1, delimiter = ";")
t = data[:,0] # la première colonne contient les temps
s1 = data[:,1] # la seconde colonne contient le premier signal
... # on fait de même pour tous les signaux à importer

Annexe C : Tracer un spectre avec Python

La bibliothèque numpy implémente l’algorithme FFT (pour Fast Fourier Transform) dans son sous-module numpy.fft. En particulier, la fonctions np.fft.rfft permet de calculer le spectre d’un signal et np.fft.rfftfreq les fréquences associées.

Le spectre d’un signal s échantillonné avec la période d’échantillonnage Te peut être calculé à partir des lignes suivantes.

s_fourier = np.abs(np.fft.rfft(s)) # Calcul de spectre
freqs = np.fft.rfftfreq(len(s), Te) # Calcul des fréquences en Hz