Comparaison d'installation — Transformations de la matière : aspects thermodynamiques et cinétiques 3 : Procédés industriels continus : aspects cinétiques et thermodynamiques

Un acide gras insaturé

A

est obtenu par saponification d’un ester

E

en présence d’un large excès de soude. Cette transformation est modélisée par l’équation

En présence de ce large excès de soude, la vitesse de réaction est du premier ordre par rapport à l’ester, avec une constante de vitesse

𝑘_{app} = 6,0

⋅10−2 min−1.

1/ Dans un premier temps, on emploie un réacteur fermé contenant

40

⁠

\begin{matrix}  \end{matrix} L

de mélange homogène. Quelle doit être la durée de l’opération pour obtenir un taux de conversion égal à

98

⁠

%

Coup de pouce 1

Relier la vitesse volumique de réaction à la concentration d’ester de deux façons : en faisant intervenir le coefficient stœchiométrique et en utilisant le fait que la réaction est d’ordre 1.

Coup de pouce 2

Résoudre l’équation différentielle pour exprimer la concentration d’ester en fonction du temps.

Corrigé

𝑣 = 𝑘_{app} [E] = - \frac{d [E]}{d 𝑡}

La solution est

[E] (𝑡) = {[E]}_{0} exp (- 𝑘_{app} 𝑡)

On note $𝑡_{98 %}$ la durée au bout de laquelle $98$ ⁠⁠ $%$ de l’ester a réagi. On a donc

[E] (𝑡_{98 %}) = {[E]}_{0} (1 - 0.98) = {[E]}_{0} exp (- 𝑘_{app} 𝑡_{98 %})

Soit

𝑡_{98 %} = - \frac{ln (0.02)}{𝑘_{app}} \approx 6,5

⋅101 min

2/ On désire cette fois traiter

40

⁠

\begin{matrix}  \end{matrix} L h^{- 1}

de solution dans un réacteur ouvert parfaitement agité continu pour obtenir un taux de conversion de

98

⁠

%

. Quels doivent être le temps de passage et le volume du réacteur ?

Coup de pouce 1

Faire un bilan de matière en ester sur un système fermé constitué à partir du système ouvert

{réacteur}

Coup de pouce 2

Relier la concentration en entrée, la concentration en sortie, le temps de passage et la constante

𝑘_{app}

Corrigé

La conservation de l’ester s’écrit

𝐹_{E, 𝑒} - 𝐹_{E, 𝑠} - 𝑘_{app} {[E]}_{𝑠} 𝑉 = 0

En divisant par le débit volumique $𝑄$ , on obtient

{[E]}_{𝑒} - {[E]}_{𝑠} - 𝑘_{app} {[E]}_{𝑠} 𝜏 = 0

d’où

𝜏 = \frac{{[E]}_{𝑒} - {[E]}_{𝑠}}{𝑘_{app} {[E]}_{𝑠}}

Pour un taux de conversion de $98$ ⁠⁠ $%$ , on a ${[E]}_{𝑠} = {[E]}_{𝑒} (1 - 0.98) = 0.02 {[E]}_{𝑒}$ . On en déduit

𝜏 = \frac{0.98}{0.02 𝑘_{app}} \approx 8,2

⋅102 min

Le volume du réacteur s’en déduit par $𝑉 = 𝜏 𝐷_{𝑉}$ :

𝑉 = 𝜏 𝐷_{𝑉} \approx 5,4

⋅102 L

3/ On désire, enfin, traiter

40

⁠

\begin{matrix}  \end{matrix} L h^{- 1}

de solution dans une cascade de

𝑛 = 10

réacteurs parfaitement agités continus de mêmes dimensions, associés en série. On suppose que le temps de passage est le même dans chaque réacteur. Quels doivent être le temps de passage et le volume total des réacteurs pour obtenir un taux de conversion de

98

⁠

%

Coup de pouce 1

Reprendre le résultat précédent et l’appliquer entre un réacteur

𝑖

et un réacteur

𝑖 + 1

Coup de pouce 2

Quelle est la nature de la suite

{({[E]}_{𝑖})}_{𝑖 \in ℕ^{*}}

Coup de pouce 3

Exprimer

{[E]}_{10}

en fonction de

{[E]}_{0}

𝑘_{app}

𝜏

Corrigé

On peut reprendre le résultat précédent entre le réacteur $𝑖$ et le réacteur $𝑖 + 1$ :

{[E]}_{𝑖} - {[E]}_{𝑖 + 1} - 𝑘_{app} {[E]}_{𝑖 + 1} 𝜏 = 0

soit

{[E]}_{𝑖 + 1} = \frac{1}{1 + 𝑘_{app} 𝜏} {[E]}_{𝑖}

La suite ${({[E]}_{𝑖})}_{𝑖 \in ℕ^{*}}$ est donc géométrique de raison $\frac{1}{1 + 𝑘_{app} 𝜏}$ et de terme initial ${[E]}_{0}$ . On en déduit

{[E]}_{10} = {[E]}_{0} {(\frac{1}{1 + 𝑘_{app} 𝜏})}^{10}

Pour un taux de conversion de $98$ ⁠⁠ $%$ , on a

{[E]}_{10} = {[E]}_{0} (1 - 0.98) = 0.02 {[E]}_{0}

On en déduit

𝜏 = \frac{{(\frac{1}{0.02})}^{\frac{1}{10}} - 1}{𝑘_{app}} \approx 8,0 min

Chaque réacteur a pour volume $𝜏 𝐷_{𝑉}$ , d’où un volume total

𝑉_{tot} = 10 𝜏 𝐷_{𝑉} \approx 5,3

⋅101 L

soit dix fois moins que le réacteur unique de la question précédente.

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