🖥️ Réactions simultanées

On envisage la conversion du méthane par la vapeur d’eau à $𝑇=900\hspace{0.17em}\text{K}$, sous une pression totale ${𝑃}_{\text{tot}}$, à partir d’un mélange initial contenant $4\text{,0}$⁠$\hspace{0.17em}$⁠$\text{mol}$ d’eau et $1\text{,0}$⁠$\hspace{0.17em}$⁠$\text{mol}$ de méthane. On doit envisager les deux équilibres chimiques suivants, dans lesquels les constituants sont des gaz parfaits :

La phase gazeuse se comporte comme un mélange parfait de gaz parfaits.

1/ Exprimer, lorsque les deux équilibres chimiques sont atteints, la quantité de matière de chaque participant, en fonction de la quantité de matière initiale en méthane ${𝑛}_0\left(\text{C}{\text{H}}_4\right)$ et en eau ${𝑛}_0\left({\text{H}}_2\text{O}\right)$ et de l’avancement ${𝜉}_1$ (respectivement ${𝜉}_2$ ) de la réaction (1) (resp. (2)).

2/ Exprimer les quotients réactionnels en fonction de la pression totale ${𝑃}_{\text{tot}}$, de la pression standard ${𝑃}^{\circ }$, des quantités de matière initiales ${𝑛}_0\left(\text{C}{\text{H}}_4\right)$ et ${𝑛}_0\left({\text{H}}_2\text{O}\right)$ et des avancements ${𝜉}_1$ et ${𝜉}_2$.

On souhaite obtenir la composition du système à l’équilibre lorsque la pression ${𝑃}_{\text{tot}}$ est égale à ${𝑃}^{\circ }=1\hspace{0.17em}\text{bar}$.

3/ Montrer que ${𝜉}_1$ et ${𝜉}_2$ satisfont le système d’équations

4/ La fonction root(f, x0) de la bibliothèque scipy.optimize permet de trouver numériquement la racine d’une fonction f en partant d’une valeur initiale x0. La fonction f peut prendre une liste en argument et retourner une liste de valeurs. root(f, x0) renvoie un objet dont l’attribut x contient la valeur de la racine trouvée. Compléter le code Python permettant de déterminer la valeur de ${𝜉}_1$ et ${𝜉}_2$. On prendra comme valeurs initiales ${𝜉}_1=0$ et ${𝜉}_2=0$.

from scipy.optimize import root
K1 = 1.306
K2 = 2.204
n0_H2O = 4.0
n0_CH4 = 1.0
def f(x): # fonction qui doit être nulle à l'équilibre
    xi1, xi2 = x
    return [..., ...]
xi1, xi2 = root(f, x0 = [0, 0]).x # cherche les solutions de l'équation f(x) = [0,0]

def f(x):
    xi_1, xi_2 = x
    return [
        (xi_1-xi_2) * (3 * xi_1 + xi_2)**3 - K1 * (n0_H2O - xi_1 - xi_2) * (n0_CH4 - xi_1) * (n0_H2O + n0_CH4 + 2 * xi_1)**2,
        xi_2 * (3 * xi_1 + xi_2) - K2 * (xi_1 - xi_2) * (n0_H2O - xi_1 - xi_2)
    ]

5/ Calculer et afficher avec Python les quantités de matière de chaque espèce à l’équilibre.

nf_CH4 = n0_CH4 - xi1
nf_H2O = n0_H2O - xi1 - xi2
nf_CO = xi1 - xi2
nf_H2 = 3 * xi1 + xi2
nf_CO2 = xi2
print("Quantités de matière à l'équilibre :")
print(f"CH4 : {nf_CH4} mol")
print(f"H2O : {nf_H2O} mol")
print(f"CO : {nf_CO} mol")
print(f"H2 : {nf_H2} mol")
print(f"CO2 : {nf_CO2} mol")