Systèmes de coordonnées

Résumé du cours

1. Coordonnées cartésiennes

1.1. Définition

En coordonnées cartésiennes, un point est repéré par la distance algébrique entre son projeté sur chacun des axes et l’origine du repère.

Les coordonnées d’un point sont notées $𝑥\in ℝ$, $𝑦\in ℝ$ et $𝑧\in ℝ$.

Les vecteurs de base sont les mêmes en tout point de l’espace.

Le vecteur $\overrightarrow{𝑂𝑀}$ s’exprime comme $\overrightarrow{𝑂𝑀}=𝑥{\overrightarrow{𝑒}}_{𝑥}+𝑦{\overrightarrow{𝑒}}_{𝑦}+𝑧{\overrightarrow{𝑒}}_{𝑧}$.

Le déplacement élémentaire s’exprime comme $\overrightarrow{\mathrm{d}𝑙}=\mathrm{d}𝑥{\overrightarrow{𝑒}}_{𝑥}+\mathrm{d}𝑦{\overrightarrow{𝑒}}_{𝑦}+\mathrm{d}𝑧{\overrightarrow{𝑒}}_{𝑧}$.

1.2. Élément de volume

L’élément de volume a pour volume $\mathrm{d}𝑉=\mathrm{d}𝑥\cdot \mathrm{d}𝑦\cdot \mathrm{d}𝑧$.

1.3. Élément de surface

Les éléments de surface sont représentés sur la figure suivante.

2. Coordonnées cylindriques

2.1. Définition

En coordonnées cylindriques, un point est repéré par sa distance à l’axe $\left(𝑂𝑧\right)$, l’angle entre son projeté dans le plan $\left(𝑂𝑥𝑦\right)$ et l’axe $\left(𝑂𝑥\right)$ et la distance algébrique entre son projeté sur l’axe $\left(𝑂𝑧\right)$ et l’origine du repère.

Les coordonnées d’un point sont notées $𝑟\in {ℝ}^{+}$, $𝜃\in [0,2𝜋[$ et $𝑧\in ℝ$.

Les vecteurs de base dépendent du point considéré. La base est donc appelée base mobile.

Le vecteur $\overrightarrow{𝑂𝑀}$ s’exprime comme $\overrightarrow{𝑂𝑀}=𝑟{\overrightarrow{𝑒}}_{𝑟}+𝑧{\overrightarrow{𝑒}}_{𝑧}$.

Le déplacement élémentaire s’exprime comme $\overrightarrow{\mathrm{d}𝑙}=\mathrm{d}𝑟{\overrightarrow{𝑒}}_{𝑟}+𝑟\mathrm{d}𝜃{\overrightarrow{𝑒}}_{𝜃}+\mathrm{d}𝑧{\overrightarrow{𝑒}}_{𝑧}$.

2.2. Élément de volume

L’élément de volume a pour volume $\mathrm{d}𝑉=\mathrm{d}𝑟\cdot 𝑟\cdot \mathrm{d}𝜃\cdot \mathrm{d}𝑧$.

2.3. Éléments de surface

Les éléments de surface sont représentés sur la figure suivante.

2.4. Coquille cylindrique

Lorsque le problème étudié ne dépend que de $𝑟$, il peut être plus aisé d’utiliser une coquille cylindrique.

Une coquille cylindrique est un volume infinitésimal contenu entre deux cylindres concentriques de rayons $𝑟$ et $𝑟+\mathrm{d}𝑟$.

L’aire intérieure de la coquille est $2𝜋𝑟ℎ$, son aire extérieure est $2𝜋\left(𝑟+\mathrm{d}𝑟\right)ℎ$ et son volume est

On peut aussi retrouver ce résultat en intégrant l’élément de volume cylindrique selon $𝜃$ et $𝑧$ :

3. Coordonnées sphériques

3.1. Définition

En coordonnées sphériques, un point est repéré par sa distance à l’origine du repère, l’angle entre l’axe $\left(𝑂𝑧\right)$ et $\overrightarrow{𝑂𝑀}$ et l’angle entre son projeté dans le plan $\left(𝑂𝑥𝑦\right)$ et l’axe $\left(𝑂𝑥\right)$.

Les coordonnées d’un point sont notées $𝑟\in {ℝ}^{+}$, $𝜃\in \left[0,𝜋\right]$ et $𝜑\in [0,2𝜋[$.

Les vecteurs de base dépendent du point considéré. La base est donc appelée base mobile.

Le vecteur $\overrightarrow{𝑂𝑀}$ s’exprime comme $\overrightarrow{𝑂𝑀}=𝑟{\overrightarrow{𝑒}}_{𝑟}$.

Le vecteur déplacement élémentaire s’exprime comme $\overrightarrow{\mathrm{d}𝑙}=\mathrm{d}𝑟{\overrightarrow{𝑒}}_{𝑟}+𝑟\mathrm{d}𝜃{\overrightarrow{𝑒}}_{𝜃}+𝑟sin\left(𝜃\right)\mathrm{d}𝜑{\overrightarrow{𝑒}}_{𝜑}$.

3.2. Élément de volume

L’élément de volume a pour volume $\mathrm{d}𝑉={𝑟}^{2}sin\left(𝜃\right)\cdot \mathrm{d}𝑟\cdot \mathrm{d}𝜃\cdot \mathrm{d}𝜑$.

3.3. Éléments de surface

Les éléments de surface sont représentés sur la figure suivante.

3.4. Coquille sphérique

Lorsque le problème étudié est invariant par rotation d’angles $𝜃$ et $𝜑$, il peut être plus aisé d’utiliser une coquille sphérique.

Une coquille sphérique est un volume infinitésimal contenu entre deux sphères concentriques de rayons $𝑟$ et $𝑟+\mathrm{d}𝑟$.

L’aire intérieure de la coquille est $4𝜋{𝑟}^2$, son aire extérieure est $4𝜋{\left(𝑟+\mathrm{d}𝑟\right)}^2$ et son volume est

On peut aussi retrouver ce résultat en intégrant l’élément de volume sphérique sur les angles $𝜃$ et $𝜑$ :