Traitement antireflet — Physique des ondes 3 : Interfaces entre deux milieux

On réalise un traitement antireflet sur un verre d’indice de réfraction

𝑛 = 1.5

en déposant une couche d’indice optique

𝑛_{𝑐} \in] 1, 𝑛 [

et d’épaisseur

𝑒

de l’ordre de la centaine de

nm

. Le but de ce traitement est d’annuler la réflexion dans l’air pour la longueur d’onde

𝜆 = 550 nm

(longueur d’onde pour laquelle l’œil est le plus sensible en vision diurne).

Les champs électrique et magnétique sont continus à chacune des deux interfaces.

L’objectif de cet exercice est de déterminer l’épaisseur

𝑒

et l’indice optique

𝑛_{𝑐}

de la couche anti-reflet.

1/ Donner l’expression de l’indice optique en fonction de la vitesse de phase et de la célérité de la lumière dans le vide. En déduire les expressions de

𝑘_{𝑖}

𝑘_{𝑐}

𝑘_{𝑡}

en fonction de

𝑛

𝑛_{𝑐}

𝜔

et de la célérité de la lumière dans le vide.

Corrigé

𝑛 = \frac{𝑐}{𝑣_{𝜑}}

On en déduit

{\begin{cases} 𝑘_{𝑖} = 𝑛_{air} \frac{𝜔}{𝑐} = \frac{𝜔}{𝑐} \\ 𝑘_{𝑐} = 𝑛_{𝑐} \frac{𝜔}{𝑐} \\ 𝑘_{𝑡} = 𝑛 \frac{𝜔}{𝑐} \end{cases}

Corrigé

On utilise la relation de structure $\vec{𝐵} = \frac{\vec{𝑘} \land \vec{𝐸}}{𝜔}$

{\begin{cases} {\vec{𝐵}}_{𝑖} = \frac{𝐸_{𝑖, 0}}{𝑐} 𝑒^{𝑖 (𝜔 𝑡 - 𝑘_{𝑖} 𝑥)} \\ {\vec{𝐵}}_{𝑐} = 𝑛_{𝑐} \frac{𝐸_{𝑐, 0}}{𝑐} 𝑒^{𝑖 (𝜔 𝑡 - 𝑘_{𝑐} 𝑥)} \\ {\vec{𝐵}}_{𝑐}^{'} = - 𝑛_{𝑐} \frac{𝐸_{𝑐, 0}'}{𝑐} 𝑒^{𝑖 (𝜔 𝑡 + 𝑘_{𝑐} 𝑥)} \\ {\vec{𝐵}}_{𝑡} = 𝑛 \frac{𝐸_{𝑡, 0}}{𝑐} 𝑒^{𝑖 (𝜔 𝑡 - 𝑘_{𝑡} 𝑥)} \end{cases}

3/ En utilisant la continuité des champs, établir un système de 4 équations reliant les amplitudes

𝐸_{𝑖, 0}

𝐸_{𝑐, 0}

𝐸_{𝑐, 0}'

𝐸_{𝑡, 0}

. Mettre ce système sous la forme

𝑀 (\begin{matrix} 𝐸_{𝑖, 0} \\ 𝐸_{𝑐, 0} \\ 𝐸_{𝑐, 0}' \\ 𝐸_{𝑡, 0} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix})

où

𝑀

est une matrice

4 \times 4

à déterminer.

Corrigé

{\begin{cases} 𝐸_{𝑖, 0} = 𝐸_{𝑐, 0} + 𝐸_{𝑐, 0}' \\ 𝐸_{𝑖, 0} = 𝑛_{𝑐} 𝐸_{𝑐, 0} - 𝑛_{𝑐} 𝐸_{𝑐, 0}' \\ 𝐸_{𝑐, 0} 𝑒^{- 𝑖 𝑘_{𝑐} 𝑒} + 𝐸_{𝑐, 0}' 𝑒^{𝑖 𝑘_{𝑐} 𝑒} = 𝐸_{𝑡, 0} 𝑒^{- 𝑖 𝑘_{𝑡} 𝑒} \\ 𝑛_{𝑐} 𝐸_{𝑐, 0} 𝑒^{- 𝑖 𝑘_{𝑐} 𝑒} - 𝑛_{𝑐} 𝐸_{𝑐, 0}' 𝑒^{𝑖 𝑘_{𝑐} 𝑒} = 𝑛 𝐸_{𝑡, 0} 𝑒^{- 𝑖 𝑘_{𝑡} 𝑒} \end{cases}

{\begin{cases} 𝐸_{𝑖, 0} - 𝐸_{𝑐, 0} - 𝐸_{𝑐, 0}' + 0 𝐸_{𝑡, 0} = 0 \\ 𝐸_{𝑖, 0} - 𝑛_{𝑐} 𝐸_{𝑐, 0} + 𝑛_{𝑐} 𝐸_{𝑐, 0}' + 0 𝐸_{𝑡, 0} = 0 \\ 0 𝐸_{𝑖, 0} + 𝑒^{- 𝑖 𝑘_{𝑐} 𝑒} 𝐸_{𝑐, 0} + 𝑒^{𝑖 𝑘_{𝑐} 𝑒} 𝐸_{𝑐, 0}' - 𝑒^{- 𝑖 𝑘_{𝑡} 𝑒} 𝐸_{𝑡, 0} = 0 \\ 0 𝐸_{𝑖, 0} + 𝑛_{𝑐} 𝑒^{- 𝑖 𝑘_{𝑐} 𝑒} 𝐸_{𝑐, 0} - 𝑛_{𝑐} 𝑒^{𝑖 𝑘_{𝑐} 𝑒} 𝐸_{𝑐, 0}' - 𝑛 𝑒^{- 𝑖 𝑘_{𝑡} 𝑒} 𝐸_{𝑡, 0} = 0 \end{cases}

On en déduit

𝑀 = (\begin{matrix} 1 & - 1 & - 1 & 0 \\ 1 & - 𝑛_{𝑐} & 𝑛_{𝑐} & 0 \\ 0 & 𝑒^{- 𝑖 𝑘_{𝑐} 𝑒} & 𝑒^{𝑖 𝑘_{𝑐} 𝑒} & - 𝑒^{- 𝑖 𝑘_{𝑡} 𝑒} \\ 0 & 𝑛_{𝑐} 𝑒^{- 𝑖 𝑘_{𝑐} 𝑒} & - 𝑛_{𝑐} 𝑒^{𝑖 𝑘_{𝑐} 𝑒} & - 𝑛 𝑒^{- 𝑖 𝑘_{𝑡} 𝑒} \end{matrix})

4/ Donner une solution de l’équation

𝑀 (\begin{matrix} 𝐸_{𝑖, 0} \\ 𝐸_{𝑐, 0} \\ 𝐸_{𝑐, 0}' \\ 𝐸_{𝑡, 0} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix})

. En déduire que pour que le traitement antireflet fonctionne, il faut que

det (𝑀) = 0

Corrigé

$(\begin{matrix} 𝐸_{𝑖, 0} \\ 𝐸_{𝑐, 0} \\ 𝐸_{𝑐, 0}' \\ 𝐸_{𝑡, 0} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix})$ est une solution de l’équation. C’est une solution triviale, avec des ondes identiquement nulles dans les trois milieux. Cette solution est unique si $𝑀$ est inversible, c’est-à-dire si $det (𝑀) \neq 0$ .

Pour que le traitement antireflet fonctionne, il faut qu’il existe une solution non triviale, c’est-à-dire que $𝑀$ ne soit pas inversible, c’est-à-dire que $det (𝑀) = 0$ .

5/ La fonction np.linalg.det de la bibliothèque numpy permet de calculer le déterminant d’une matrice. Écrire une fonction D(e,nc) qui renvoie le déterminant de la matrice

𝑀

en fonction de

𝑒

𝑛_{𝑐}

Corrigé

import numpy as np
n = 1.5
lam = 550e-9
c = 3e8
omega = 2 * np.pi * c / lam
def D(e,nc):
    kt = n * omega / c
    kc = nc * omega / c
    M = np.array([
        [1, -1,                  -1,                  0],
        [1, -nc,                 nc,                  0],
        [0, np.exp(-1j*kc*e),    np.exp(1j*kc*e),     -np.exp(-1j*kt*e)],
        [0, nc*np.exp(-1j*kc*e), -nc*np.exp(1j*kc*e), -n*np.exp(-1j*kt*e)]
    ])
    return np.linalg.det(M)

Pour résoudre numériquement l’équation

𝐷 (𝑒, 𝑛_{𝑐}) = 0

, on peut utiliser la fonction root de la bibliothèque scipy.optimize qui permet de trouver les racines d’une fonction.

La fonction dont root doit trouver les racines doit prendre en argument un tableau numpy de réels et renvoyer un tableau numpy de réels.

6/ Expliquer pourquoi la fonction f est adaptée pour être utilisée avec la fonction root de scipy.optimize.

Corrigé

La fonction f prend bien en argument un tableau numpy de réels (le tableau X qui contient les valeurs de e et nc) et renvoie un tableau numpy de réels (le tableau [d.real, d.imag]).

Trouver les $0$ de la fonction f est bien ce qu’on veut car le complexe $𝑑$ est nul si et seulement si sa partie réelle et sa partie imaginaire sont nulles, c’est-à-dire si et seulement si f(X) == [0, 0].

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