Réflexion et transmission sur un plasma — Physique des ondes 3 : Interfaces entre deux milieux

Une onde plane progressive monochromatique de pulsation

𝜔

, polarisée rectilignement suivant

{\vec{𝑒}}_{𝑧}

, se propage dans le sens des

𝑥

croissants avec le vecteur d’onde

\vec{𝑘} = 𝑘 {\vec{𝑒}}_{𝑥}

. Elle arrive sous incidence normale sur le plasma de densité électronique

𝑁

. L’interface vide-plasma a pour équation

𝑥 = 0

, le plasma occupe le demi-espace

𝑥 > 0

On étudie le champ transmis

{\vec{𝐸}}_{𝑡} = 𝐸_{𝑡, 0} 𝑒^{𝑖 (𝜔 𝑡 - 𝑘_{𝑝} 𝑥)} {\vec{𝑒}}_{𝑧}

dans le plasma et le champ réfléchi

{\vec{𝐸}}_{𝑟} = 𝐸_{𝑟, 0} 𝑒^{𝑖 (𝜔 𝑡 + 𝑘 𝑥)} {\vec{𝑒}}_{𝑧}

connaissant le champ incident

{\vec{𝐸}}_{𝑖} = 𝐸_{0} 𝑒^{𝑖 (𝜔 𝑡 - 𝑘 𝑥)} {\vec{𝑒}}_{𝑧}

1/ Déterminer la conductivité complexe du plasma

𝛾

à la pulsation

𝜔

en fonction de

𝑁

𝑒

𝑚_{𝑒}

𝜔

Coup de pouce 1

Il s’agit d’une question de cours.

Corrigé

Voir le cours du chapitre Physique des ondes 2.

𝛾 = - 𝑖 \frac{𝑁 𝑒^{2}}{𝑚_{𝑒} 𝜔}

Coup de pouce 1

Utiliser l’équation de Maxwell-gauss avec l’onde transmise dans le plasma.

Corrigé

Maxwell-Gauss donne

\frac{𝜌}{𝜀_{0}} = div ({\vec{𝐸}}_{𝑡}) = \frac{𝜕}{𝜕 𝑧} 𝐸_{𝑡, 0} 𝑒^{𝑖 (𝜔 𝑡 - 𝑘_{𝑝} 𝑥)} = 0

D’où

𝜌 = 0

3/ Établir l’équation de dispersion dans le plasma en posant

𝜔_{𝑝} = \sqrt{\frac{𝑁 𝑒^{2}}{𝑚_{𝑒} 𝜀_{0}}}

Coup de pouce 1

Il s’agit d’une question de cours.

Corrigé

C’est une question de cours.

{𝑘_{𝑝}}^{2} = \frac{𝜔^{2} - 𝜔_{𝑝}^{2}}{𝑐^{2}}

4/ En déduire l’indice optique

𝑛

du plasma défini par

𝑛 = \frac{𝑐}{𝑣_{𝜑}}

où

𝑣_{𝜑}

est la vitesse de phase.

Corrigé

Par définition de la vitesse de phase, on a

𝑣_{𝜑} = \frac{𝜔}{𝑘_{𝑝}} = \frac{𝑐}{\sqrt{1 - \frac{𝜔_{𝑝}^{2}}{𝜔^{2}}}}

D’où

𝑛 = \frac{𝑐}{𝑣_{𝜑}} = \sqrt{1 - \frac{𝜔_{𝑝}^{2}}{𝜔^{2}}}

5/ Déterminer les champs magnétiques

{\vec{𝐵}}_{𝑖}

{\vec{𝐵}}_{𝑟}

{\vec{𝐵}}_{𝑡}

associés aux trois champs électriques.

Corrigé

Les champs magnétiques peuvent être déduits des champs électriques grâce à la relation de structure :

{\begin{cases} {\vec{𝐵}}_{𝑖} = \frac{𝑘 {\vec{𝑒}}_{𝑥} \land {\vec{𝐸}}_{𝑖}}{𝜔} = - \frac{𝑘}{𝜔} 𝐸_{0} 𝑒^{𝑖 (𝜔 𝑡 - 𝑘 𝑥)} {\vec{𝑒}}_{𝑦} = - \frac{𝐸_{0}}{𝑐} 𝑒^{𝑖 (𝜔 𝑡 - 𝑘 𝑥)} {\vec{𝑒}}_{𝑦} \\ {\vec{𝐵}}_{𝑟} = \frac{- 𝑘 {\vec{𝑒}}_{𝑥} \land {\vec{𝐸}}_{𝑟}}{𝜔} = \frac{𝑘}{𝜔} 𝐸_{𝑟, 0} 𝑒^{𝑖 (𝜔 𝑡 + 𝑘 𝑥)} {\vec{𝑒}}_{𝑦} = \frac{𝐸_{𝑟, 0}}{𝑐} 𝑒^{𝑖 (𝜔 𝑡 + 𝑘 𝑥)} {\vec{𝑒}}_{𝑦} \\ {\vec{𝐵}}_{𝑡} = \frac{𝑘_{𝑝} {\vec{𝑒}}_{𝑥} \land {\vec{𝐸}}_{𝑡}}{𝜔} = - \frac{𝑘_{𝑝}}{𝜔} 𝐸_{𝑡, 0} 𝑒^{𝑖 (𝜔 𝑡 - 𝑘_{𝑝} 𝑥)} {\vec{𝑒}}_{𝑦} = - 𝑛 \frac{𝐸_{𝑡, 0}}{𝑐} 𝑒^{𝑖 (𝜔 𝑡 - 𝑘_{𝑝} 𝑥)} {\vec{𝑒}}_{𝑦} \end{cases}

Les champs magnétique et électrique sont continus à l’interface vide-plasma.

6/ En utilisant la continuité des champs à l’interface, exprimer

𝐸_{𝑟, 0}

𝐸_{𝑡, 0}

en fonction de

𝐸_{0}

et de

𝑛

Corrigé

En utilisant la continuité du champ électrique à l’interface, on trouve

𝐸_{0} + 𝐸_{𝑟, 0} = 𝐸_{𝑡, 0}

En utilisant la continuité du champ magnétique à l’interface, on trouve

- 𝐸_{0} + 𝐸_{𝑟, 0} = - 𝑛 𝐸_{𝑡, 0}

En combinant ces deux relations, on trouve

{\begin{cases} 𝐸_{𝑟, 0} = \frac{1 - 𝑛}{1 + 𝑛} 𝐸_{0} \\ 𝐸_{𝑡, 0} = \frac{2}{1 + 𝑛} 𝐸_{0} \end{cases}

7/ Définir et déterminer les coefficients de réflexion et de transmission en puissance

𝑅

𝑇

. Que vaut leur somme ?

Corrigé

Les champs réels s’écrivent

{\begin{cases} {\vec{𝐸}}_{𝑖} = Re ({\vec{𝐸}}_{𝑖}) = 𝐸_{0} cos (𝜔 𝑡 - 𝑘 𝑥) {\vec{𝑒}}_{𝑧} \\ {\vec{𝐸}}_{𝑟} = Re ({\vec{𝐸}}_{𝑟}) = Re (\frac{1 - 𝑛}{1 + 𝑛} 𝐸_{0} 𝑒^{𝑖 (𝜔 𝑡 + 𝑘 𝑥)}) {\vec{𝑒}}_{𝑧} = \frac{1 - 𝑛}{1 + 𝑛} 𝐸_{0} cos (𝜔 𝑡 + 𝑘 𝑥) {\vec{𝑒}}_{𝑧} \\ {\vec{𝐸}}_{𝑡} = Re ({\vec{𝐸}}_{𝑡}) = Re (\frac{2}{1 + 𝑛} 𝐸_{0} 𝑒^{𝑖 (𝜔 𝑡 - 𝑘_{𝑝} 𝑥)}) {\vec{𝑒}}_{𝑧} = \frac{2}{1 + 𝑛} 𝐸_{0} cos (𝜔 𝑡 - 𝑘_{𝑝} 𝑥) {\vec{𝑒}}_{𝑧} \\ {\vec{𝐵}}_{𝑖} = Re ({\vec{𝐵}}_{𝑖}) = - \frac{𝐸_{0}}{𝑐} cos (𝜔 𝑡 - 𝑘 𝑥) {\vec{𝑒}}_{𝑦} \\ {\vec{𝐵}}_{𝑟} = Re ({\vec{𝐵}}_{𝑟}) = \frac{𝐸_{𝑟, 0}}{𝑐} cos (𝜔 𝑡 + 𝑘 𝑥) {\vec{𝑒}}_{𝑦} = \frac{1 - 𝑛}{1 + 𝑛} \frac{𝐸_{0}}{𝑐} cos (𝜔 𝑡 + 𝑘 𝑥) {\vec{𝑒}}_{𝑦} \\ {\vec{𝐵}}_{𝑡} = Re ({\vec{𝐵}}_{𝑡}) = - 𝑛 \frac{𝐸_{𝑡, 0}}{𝑐} cos (𝜔 𝑡 - 𝑘_{𝑝} 𝑥) {\vec{𝑒}}_{𝑦} = - 2 \frac{𝑛}{1 + 𝑛} \frac{𝐸_{0}}{𝑐} cos (𝜔 𝑡 - 𝑘_{𝑝} 𝑥) {\vec{𝑒}}_{𝑦} \end{cases}

On peut en déduire les vecteurs de Poynting associés à chaque onde :

{\begin{cases} {\vec{𝛱}}_{𝑖} = \frac{{\vec{𝐸}}_{𝑖} \land {\vec{𝐵}}_{𝑖}}{𝜇_{0}} = \frac{𝐸_{0}^{2}}{𝜇_{0} 𝑐} {cos}^{2} (𝜔 𝑡 - 𝑘 𝑥) {\vec{𝑒}}_{𝑥} \\ {\vec{𝛱}}_{𝑟} = \frac{{\vec{𝐸}}_{𝑟} \land {\vec{𝐵}}_{𝑟}}{𝜇_{0}} = {(\frac{1 - 𝑛}{1 + 𝑛})}^{2} \frac{𝐸_{0}^{2}}{𝜇_{0} 𝑐} {cos}^{2} (𝜔 𝑡 + 𝑘 𝑥) (- {\vec{𝑒}}_{𝑥}) \\ {\vec{𝛱}}_{𝑡} = \frac{{\vec{𝐸}}_{𝑡} \land {\vec{𝐵}}_{𝑡}}{𝜇_{0}} = \frac{4 𝑛}{{(1 + 𝑛)}^{2}} \frac{𝐸_{0}^{2}}{𝜇_{0} 𝑐} {cos}^{2} (𝜔 𝑡 - 𝑘_{𝑝} 𝑥) {\vec{𝑒}}_{𝑥} \end{cases}

On peut alors définir les coefficients de réflexion et de transmission en puissance $𝑅$ et $𝑇$ par

{\begin{cases} 𝑅 = \frac{‖ ⟨ {\vec{𝛱}}_{𝑟} ⟩ ‖}{‖ ⟨ {\vec{𝛱}}_{𝑖} ⟩ ‖} = {(\frac{1 - 𝑛}{1 + 𝑛})}^{2} \\ 𝑇 = \frac{‖ ⟨ {\vec{𝛱}}_{𝑡} ⟩ ‖}{‖ ⟨ {\vec{𝛱}}_{𝑖} ⟩ ‖} = \frac{4 𝑛}{{(1 + 𝑛)}^{2}} \end{cases}

Leur somme vaut

𝑅 + 𝑇 = {(\frac{1 - 𝑛}{1 + 𝑛})}^{2} + \frac{4 𝑛}{{(1 + 𝑛)}^{2}} = 1

Ceci est cohérent avec la conservation de l’énergie, qui impose que la somme des coefficients de réflexion et de transmission en puissance soit égale à 1.

Corrigé

La relation de dispersion a pour solution

𝑘_{𝑝} = \pm 𝑖 \sqrt{\frac{𝜔_{𝑝}^{2} - 𝜔^{2}}{𝑐^{2}}}

En remplaçant dans l’expression du champ électrique transmis, on trouve

{\vec{𝐸}}_{𝑡} = 𝐸_{𝑡, 0} 𝑒^{𝑖 𝜔 𝑡} 𝑒^{\pm \sqrt{\frac{𝜔_{𝑝}^{2} - 𝜔^{2}}{𝑐^{2}}} 𝑥} {\vec{𝑒}}_{𝑧}

La solution $𝑘_{𝑝} = + 𝑖 \sqrt{\frac{𝜔_{𝑝}^{2} - 𝜔^{2}}{𝑐^{2}}}$ correspond à une onde électromagnétique qui croît exponentiellement et diverge quand $𝑥 \to \infty$ , ce qui est non physique. On choisit donc la solution $𝑘_{𝑝} = - 𝑖 \sqrt{\frac{𝜔_{𝑝}^{2} - 𝜔^{2}}{𝑐^{2}}}$ , qui correspond à une onde électromagnétique qui décroit exponentiellement dans le plasma.

9/ En utilisant la continuité des champs à l’interface, exprimer

𝐸_{𝑟, 0}

𝐸_{𝑡, 0}

en fonction de

𝐸_{0}

Corrigé

Les champs magnétiques associés sont

{\begin{cases} {\vec{𝐵}}_{𝑖} = - \frac{𝐸_{0}}{𝑐} 𝑒^{𝑖 (𝜔 𝑡 - 𝑘 𝑥)} {\vec{𝑒}}_{𝑦} \\ {\vec{𝐵}}_{𝑟} = \frac{𝐸_{𝑟, 0}}{𝑐} 𝑒^{𝑖 (𝜔 𝑡 + 𝑘 𝑥)} {\vec{𝑒}}_{𝑦} \\ {\vec{𝐵}}_{𝑡} = 𝑖 \sqrt{\frac{𝜔_{𝑝}^{2} - 𝜔^{2}}{𝑐^{2}}} \frac{𝐸_{𝑡, 0}}{𝜔} 𝑒^{𝑖 𝜔 𝑡} 𝑒^{- \sqrt{\frac{𝜔_{𝑝}^{2} - 𝜔^{2}}{𝑐^{2}}} 𝑥} {\vec{𝑒}}_{𝑦} \end{cases}

En utilisant la continuité des champs électrique et magnétique à l’interface, on trouve

{\begin{cases} 𝐸_{0} + 𝐸_{𝑟, 0} = 𝐸_{𝑡, 0} \\ - \frac{𝐸_{0}}{𝑐} + \frac{𝐸_{𝑟, 0}}{𝑐} = 𝑖 \frac{\sqrt{\frac{𝜔_{𝑝}^{2} - 𝜔^{2}}{𝑐^{2}}}}{𝜔} 𝐸_{𝑡, 0} \end{cases}

On peut en déduire

{\begin{cases} 𝐸_{𝑟, 0} = \frac{1 + 𝑖 \sqrt{\frac{𝜔_{𝑝}^{2} - 𝜔^{2}}{𝜔^{2}}}}{1 - 𝑖 \sqrt{\frac{𝜔_{𝑝}^{2} - 𝜔^{2}}{𝜔^{2}}}} 𝐸_{0} \\ 𝐸_{𝑡, 0} = \frac{2}{1 - 𝑖 \sqrt{\frac{𝜔_{𝑝}^{2} - 𝜔^{2}}{𝜔^{2}}}} 𝐸_{0} \end{cases}

10/ Déterminer le coefficient de réflexion en puissance

𝑅

et le coefficient de transmission en puissance

𝑇

Corrigé

Notons $𝛽 = \sqrt{\frac{𝜔_{𝑝}^{2} - 𝜔^{2}}{𝜔^{2}}}$ , réel positif, de sorte que

𝐸_{𝑟, 0} = \frac{1 + 𝑖 𝛽}{1 - 𝑖 𝛽} 𝐸_{0} et 𝐸_{𝑡, 0} = \frac{2}{1 - 𝑖 𝛽} 𝐸_{0}

Coefficient de réflexion. Les nombres $1 + 𝑖 𝛽$ et $1 - 𝑖 𝛽$ sont conjugués l’un de l’autre, donc de même module :

| 𝐸_{𝑟, 0} | = \frac{| 1 + 𝑖 𝛽 |}{| 1 - 𝑖 𝛽 |} 𝐸_{0} = 𝐸_{0}

Les ondes incidente et réfléchie ont la même amplitude et se propagent toutes deux dans le vide, leurs vecteurs de Poynting moyens ont donc la même norme :

𝑅 = \frac{‖ ⟨ {\vec{𝛱}}_{𝑟} ⟩ ‖}{‖ ⟨ {\vec{𝛱}}_{𝑖} ⟩ ‖} = 1

Coefficient de transmission. Dans le plasma, le champ magnétique porte un facteur $𝑖$ par rapport au champ électrique : les deux champs sont en quadrature. En écrivant $𝐸_{𝑡, 0} = | 𝐸_{𝑡, 0} | 𝑒^{𝑖 𝜑}$ , les champs réels valent

\begin{aligned} {\vec{𝐸}}_{𝑡} & = | 𝐸_{𝑡, 0} | 𝑒^{- \sqrt{\frac{𝜔_{𝑝}^{2} - 𝜔^{2}}{𝑐^{2}}} 𝑥} cos (𝜔 𝑡 + 𝜑) {\vec{𝑒}}_{𝑧} \\ {\vec{𝐵}}_{𝑡} & = - \frac{\sqrt{\frac{𝜔_{𝑝}^{2} - 𝜔^{2}}{𝑐^{2}}}}{𝜔} | 𝐸_{𝑡, 0} | 𝑒^{- \sqrt{\frac{𝜔_{𝑝}^{2} - 𝜔^{2}}{𝑐^{2}}} 𝑥} sin (𝜔 𝑡 + 𝜑) {\vec{𝑒}}_{𝑦} \end{aligned}

Le vecteur de Poynting transmis est donc proportionnel à $cos (𝜔 𝑡 + 𝜑) sin (𝜔 𝑡 + 𝜑)$ , de valeur moyenne nulle sur une période :

⟨ {\vec{𝛱}}_{𝑡} ⟩ = \vec{0} d'où 𝑇 = 0

Toute l’énergie de l’onde incidente est réfléchie par le plasma et aucune n’est transmise. L’onde qui pénètre dans le plasma est évanescente : elle décroit exponentiellement et ne transporte pas d’énergie en moyenne, exactement comme lors de la réflexion sur un métal parfait.