Réflexion et transmission entre deux cordes ★

Deux cordes différentes sont reliées en 𝑥=0. Celle de gauche, numérotée 1, a une masse linéique 𝜇1 et celle de droite, numérotée 2, une masse linéique 𝜇2. Elles sont tendues sous une tension 𝑇.

Une onde se propage dans la corde 1. On observe qu’en 𝑥=0, elle donne naissance à une onde réfléchie sur la corde 1 et à une onde transmise sur la corde 2. On modélise ces trois ondes par :

𝑦𝑖(𝑥,𝑡)=𝑦0,𝑖𝑒𝑗(𝜔𝑖𝑡−𝑘𝑖𝑥)𝑦𝑟(𝑥,𝑡)=𝑦0,𝑟𝑒𝑗(𝜔𝑟𝑡+𝑘𝑟𝑥)𝑦𝑡(𝑥,𝑡)=𝑦0,𝑡𝑒𝑗(𝜔𝑡𝑡−𝑘𝑡𝑥)

1/ Quelles sont les natures des 3 ondes ?

Coup de pouce 1
Ces ondes sont-elles progressives ? stationnaires ? harmoniques ?
Corrigé
Ce sont des ondes progressives harmoniques. Les ondes incidente et transmise se propagent dans le sens des 𝑥 croissants, tandis que l’onde réfléchie se propage dans le sens des 𝑥 décroissants.

2/ Montrer que les trois pulsations temporelles sont identiques.

Coup de pouce 1
Comment s’écrit l’onde totale dans la corde de gauche ? Dans la corde de droite ?
Coup de pouce 2
L’onde totale est continue en 𝑥=0.
Corrigé

L’onde dans la corde 1 est

𝑦1(𝑥,𝑡)=𝑦𝑖(𝑥,𝑡)+𝑦𝑟(𝑥,𝑡)=𝑦0,𝑖𝑒𝑗(𝜔𝑖𝑡−𝑘𝑖𝑥)+𝑦0,𝑟𝑒𝑗(𝜔𝑟𝑡+𝑘𝑟𝑥)

et l’onde dans la corde 2 est

𝑦2(𝑥,𝑡)=𝑦𝑡(𝑥,𝑡)=𝑦0,𝑡𝑒𝑗(𝜔𝑡𝑡−𝑘𝑡𝑥)

En 𝑥=0, les cordes sont reliées, on a donc

∀𝑡𝑦1(0,𝑡)=𝑦2(0,𝑡)∀𝑡𝑦0,𝑖𝑒𝑗𝜔𝑖𝑡+𝑦0,𝑟𝑒𝑗𝜔𝑟𝑡=𝑦0,𝑡𝑒𝑗𝜔𝑡𝑡∀𝑡𝑦0,𝑖𝑒𝑗(𝜔𝑖−𝜔𝑡)𝑡+𝑦0,𝑟𝑒𝑗(𝜔𝑟−𝜔𝑡)𝑡=𝑦0,𝑡∀𝑡𝑦0,𝑖𝑒𝑗(𝜔𝑖−𝜔𝑡)𝑡=−𝑦0,𝑟𝑒𝑗(𝜔𝑟−𝜔𝑡)𝑡+𝑦0,𝑡

Sur une copie on peut s’arrêter là et dire que le terme de gauche et le terme de droite sont deux fonctions harmoniques égales à tout temps donc elles ont même pulsation (et même phase, même amplitude). On trouve alors

{𝜔𝑖=𝜔𝑡𝜔𝑟=𝜔𝑡

D’où

𝜔𝑖=𝜔𝑟=𝜔𝑡

On peut le démontrer plus rigoureusement :

∀𝑡𝑦0,𝑖𝑗(𝜔𝑖−𝜔𝑡)𝑒𝑗(𝜔𝑖−𝜔𝑡)𝑡=−𝑦0,𝑟𝑗(𝜔𝑟−𝜔𝑡)𝑒𝑗(𝜔𝑟−𝜔𝑡)𝑡∀𝑡𝑦0,𝑖(𝜔𝑖−𝜔𝑡)𝑒𝑗(𝜔𝑖−𝜔𝑡−𝜔𝑟+𝜔𝑡)𝑡=−𝑦0,𝑟(𝜔𝑟−𝜔𝑡)∀𝑡𝑦0,𝑖(𝜔𝑖−𝜔𝑡)𝑒𝑗(𝜔𝑖−𝜔𝑟)𝑡=−𝑦0,𝑟(𝜔𝑟−𝜔𝑡)

Le terme de droite ne dépend pas de 𝑡 donc celui de gauche non plus :

𝜔𝑖−𝜔𝑟=0ou𝜔𝑖−𝜔𝑡=0

En utilisant l’équation (1), on trouve que dans les deux cas, 𝜔𝑖=𝜔𝑟=𝜔𝑡.

3/ En appliquant le théorème de la résultante cinétique sur une portion de corde de longueur 2𝜀 à la jonction, montrer que

∀𝑡𝜕𝑦1𝜕𝑥|𝑥=0,𝑡=𝜕𝑦2𝜕𝑥|𝑥=0,𝑡

On notera 𝑇⃗1 et 𝑇⃗2 les tensions exercées de part et d’autre de la jonction.

Coup de pouce 1
Faire tendre 𝜀 vers 0 pour montrer la continuité de 𝑇⃗ en 0.
Coup de pouce 2
Projeter la continuité de 𝑇⃗ sur 𝑒⃗𝑦 pour relier les inclinaisons de la corde juste à gauche et juste à droite de la jonction.
Coup de pouce 3
Relier les inclinaisons aux dérivées spatiales de 𝑦1 et 𝑦2 en 𝑥=0.
Corrigé

Le TRC s’écrit

(𝜇1𝜀+𝜇2𝜀)𝜕2𝑦𝜕𝑡2|𝑥=0,𝑡𝑒⃗𝑦=−𝑇⃗1(𝑥=−𝜀)+𝑇⃗2(𝑥=𝜀)

En faisant tendre 𝜀 vers 0, on trouve

∀𝑡0⃗=−𝑇⃗1(𝑥=0−,𝑡)+𝑇⃗2(𝑥=0+,𝑡)

La projection de cette égalité sur 𝑒⃗𝑥 donne 𝑇1=𝑇2, la tension est la même dans les deux cordes.

La projection de cette égalité sur 𝑒⃗𝑦 donne

∀𝑡0=−𝑇𝛼1(𝑥=0−,𝑡)+𝑇𝛼2(𝑥=0+,𝑡)

Soit

∀𝑡𝛼1(𝑥=0−,𝑡)=𝛼2(𝑥=0+,𝑡)∀𝑡𝜕𝑦1𝜕𝑥|𝑥=0,𝑡=𝜕𝑦2𝜕𝑥|𝑥=0,𝑡

4/ Définir puis établir les coefficients de réflexion et de transmission en amplitude 𝑟 et 𝑡, en fonction des célérités 𝑐1 et 𝑐2 dans les cordes.

Coup de pouce 1
Utiliser les 2 relations reliant 𝑦1 et 𝑦2 en 𝑥=0.
Coup de pouce 2
Définir les coefficients de réflexion et de transmission en amplitude 𝑟 et 𝑡 par analogie avec les ondes sonores.
Corrigé

L’équation de la question précédente peut être réécrite

𝑗𝑘1𝑦0,𝑖𝑒𝑗(𝜔𝑡)−𝑗𝑘1𝑦0,𝑟𝑒𝑗(𝜔𝑡)=𝑗𝑘2𝑦0,𝑡𝑒𝑗(𝜔𝑡)𝑘1𝑦0,𝑖−𝑘1𝑦0,𝑟=𝑘2𝑦0,𝑡

En combinant cette égalité avec (1), on obtient

{𝑦0,𝑖+𝑦0,𝑟=𝑦0,𝑡𝑘1𝑦0,𝑖−𝑘1𝑦0,𝑟=𝑘2𝑦0,𝑡

D’où

{2𝑘1𝑦0,𝑖=(𝑘1+𝑘2)𝑦0,𝑡(−𝑘2+𝑘1)𝑦0,𝑖+(−𝑘2−𝑘1)𝑦0,𝑟=0

On en déduit les coefficients de réflexion et de transmission en amplitude

{𝑟≕𝑦0,𝑟𝑦0,𝑖=𝑘1−𝑘2𝑘1+𝑘2𝑡≕𝑦0,𝑡𝑦0,𝑖=2𝑘1𝑘1+𝑘2

On peut les exprimer en fonction des célérités en utilisant les relations de dispersion 𝑘1=𝜔𝑐1 et 𝑘2=𝜔𝑐2 :

{𝑟≕1𝑐1−1𝑐21𝑐1+1𝑐2=𝑐2−𝑐1𝑐1+𝑐2𝑡≕2𝑐11𝑐1+1𝑐2=2𝑐2𝑐1+𝑐2