Réflexion et transmission entre deux câbles — Physique des ondes 3 : Interfaces entre deux milieux

Deux câbles coaxiaux différents, d’impédances caractéristiques

𝑍_{1}

𝑍_{2}

sont mis bout à bout en

𝑥 = 0

. Une onde harmonique est émise dans le câble occupant les abscisses

𝑥 < 0

, qui se propage dans le sens des

𝑥

croissants.

1/ Proposer une expression mathématique pour les tensions des ondes incidentes, réfléchies et transmises. On ne supposera pas a priori les pulsations identiques.

Coup de pouce 1

Quelle est l’expression générale d’une onde progressive harmonique ?

Corrigé

Les ondes sont progressives et harmoniques, elles ont pour expression

{\begin{cases} 𝑢_{𝑖} (𝑥, 𝑡) = 𝑢_{𝑖, 0} 𝑒^{𝑗 𝜔_{𝑖} 𝑡 - 𝑗 𝑘_{𝑖} 𝑥} \\ 𝑢_{𝑟} (𝑥, 𝑡) = 𝑢_{𝑟, 0} 𝑒^{𝑗 𝜔_{𝑟} 𝑡 + 𝑗 𝑘_{𝑟} 𝑥} \\ 𝑢_{𝑡} (𝑥, 𝑡) = 𝑢_{𝑡, 0} 𝑒^{𝑗 𝜔_{𝑡} 𝑡 - 𝑗 𝑘_{𝑡} 𝑥} \end{cases}

2/ Déterminer les expressions des courants associés en faisant apparaitre les impédances caractéristiques des câbles.

Coup de pouce 1

Quelle est la relation entre la tension et le courant dans un câble coaxial ?

Coup de pouce 2

Attention au sens de propagation des ondes !

Corrigé

En utilisant la relation entre la tension et le courant dans un câble coaxial, on trouve

{\begin{cases} 𝑖_{𝑖} (𝑥, 𝑡) = \frac{𝑢_{𝑖, 0}}{𝑍_{1}} 𝑒^{𝑗 𝜔_{𝑖} 𝑡 - 𝑗 𝑘_{𝑖} 𝑥} \\ 𝑖_{𝑟} (𝑥, 𝑡) = - \frac{𝑢_{𝑟, 0}}{𝑍_{1}} 𝑒^{𝑗 𝜔_{𝑟} 𝑡 + 𝑗 𝑘_{𝑟} 𝑥} \\ 𝑖_{𝑡} (𝑥, 𝑡) = \frac{𝑢_{𝑡, 0}}{𝑍_{2}} 𝑒^{𝑗 𝜔_{𝑡} 𝑡 - 𝑗 𝑘_{𝑡} 𝑥} \end{cases}

3/ Quelles sont les 2 conditions aux limites en

𝑥 = 0

? En déduire deux relations entre

𝑢_{𝑖, 0}

𝑢_{𝑟, 0}

𝑢_{𝑡, 0}

Coup de pouce 1

La tension et le courant sont continus à l’interface entre les deux câbles.

Corrigé

Les conditions aux limites sont la continuité de la tension et du courant en $𝑥 = 0$ , soit

{\begin{cases} 𝑢_{𝑖, 0} + 𝑢_{𝑟, 0} = 𝑢_{𝑡, 0} \\ \frac{𝑢_{𝑖, 0}}{𝑍_{1}} - \frac{𝑢_{𝑟, 0}}{𝑍_{1}} = \frac{𝑢_{𝑡, 0}}{𝑍_{2}} \end{cases}

4/ Définir et établir les coefficients de réflexion et de transmission en amplitude pour la tension, à la jonction entre les deux câbles. Conclure quant à la nécessité d’assurer une adaptation d’impédance lors de la mise en série de deux câbles coaxiaux.

Corrigé

En combinant les deux relations précédentes, on trouve

{\begin{cases} 2 𝑢_{𝑖, 0} + 0 = (1 + \frac{𝑍_{1}}{𝑍_{2}}) 𝑢_{𝑡, 0} \\ (1 - \frac{𝑍_{2}}{𝑍_{1}}) 𝑢_{𝑖, 0} + (1 + \frac{𝑍_{2}}{𝑍_{1}}) 𝑢_{𝑟, 0} = 0 \end{cases}

On en déduit les coefficients de réflexion et de transmission en amplitude sur la tension

{\begin{cases} 𝑟 ≕ \frac{𝑢_{𝑟, 0}}{𝑢_{𝑖, 0}} = \frac{\frac{𝑍_{2}}{𝑍_{1}} - 1}{1 + \frac{𝑍_{2}}{𝑍_{1}}} = \frac{𝑍_{2} - 𝑍_{1}}{𝑍_{2} + 𝑍_{1}} \\ 𝑡 ≕ \frac{𝑢_{𝑡, 0}}{𝑢_{𝑖, 0}} = \frac{2 𝑍_{2}}{𝑍_{2} + 𝑍_{1}} \end{cases}

Si l’impédance n’est pas adaptée, $𝑟 \neq 0$ et il existera une onde réfléchie, ce qui n’est pas souhaitable dans le cadre de la transmission d’un signal.