Physique des ondes 3
Interfaces entre deux milieux

Résumé du cours

1. Cas des ondes sonores

Lorsque deux fluides non miscibles sont en contact, des ondes sonores peuvent passer d’un à l’autre.

1.1. Conditions aux limites

Les deux fluides restant en contact, la composante normale de la vitesse est continue à l’interface.

Point clé 1 – Continuité de la surpression ♥︎✍
La surpression est continue à l’interface

1.2. Réflexion et transmission sur une interface plane

Lorsqu’une onde sonore arrive perpendiculairement à une interface plane, les coefficients de réflexion et de transmission peuvent s’exprimer simplement grâce aux impédances acoustiques des deux milieux.

Point clé 2 – Coefficients de réflexion et de transmission sur les amplitudes des surpressions et des survitesses ✍

Hypothèses :

  • Une OPPH 𝑃𝑖=𝑃𝑖,0𝑒𝑗(𝜔𝑡−𝑘1𝑥) arrive en incidence normale.
  • L’OPPH réfléchie s’écrit 𝑃𝑟=𝑃𝑟,0𝑒𝑗(𝜔𝑡+𝑘1𝑥).
  • L’OPPH transmise s’écrit 𝑃𝑡=𝑃𝑡,0𝑒𝑗(𝜔𝑡−𝑘2𝑥).
  • La surface séparant les milieux est plane.
  • Les fluides ne sont pas miscibles.
𝑟𝑣≕𝑣𝑟,0𝑣𝑖,0=𝑍1−𝑍2𝑍1+𝑍2𝑟𝑃≕𝑃𝑟,0𝑃𝑖,0=𝑍2−𝑍1𝑍1+𝑍2𝑡𝑣≕𝑣𝑡,0𝑣𝑖,0=2𝑍1𝑍1+𝑍2𝑡𝑃≕𝑃𝑡,0𝑃𝑖,0=2𝑍2𝑍1+𝑍2
avec 𝑃𝑖,0 l’amplitude de la surpression de l’OPPH incidente (Pa) ; 𝑃𝑟,0 l’amplitude de la surpression de l’OPPH réfléchie (Pa) ; 𝑃𝑡,0 l’amplitude de la surpression de l’OPPH transmise (Pa) ; 𝑣𝑖,0 l’amplitude de la survitesse de l’OPPH incidente (m s−1) ; 𝑣𝑟,0 l’amplitude de la survitesse de l’OPPH réfléchie (m s−1) ; 𝑣𝑡,0 l’amplitude de la survitesse de l’OPPH transmise (m s−1) ; 𝑍1 l’impédance acoustique du milieu de l’onde incidente (Pa ⁠s m−1) ; 𝑍2 l’impédance acoustique du milieu de l’onde transmise (Pa ⁠s m−1).
Point clé 3 – Coefficients de réflexion et de transmission sur les puissances ♥︎✍

Hypothèses :

  • Une OPPH 𝑃𝑖=𝑃𝑖,0𝑒𝑗(𝜔𝑡−𝑘1𝑥) arrive en incidence normale.
  • L’OPPH réfléchie s’écrit 𝑃𝑟=𝑃𝑟,0𝑒𝑗(𝜔𝑡+𝑘1𝑥).
  • L’OPPH transmise s’écrit 𝑃𝑡=𝑃𝑡,0𝑒𝑗(𝜔𝑡−𝑘2𝑥).
  • La surface séparant les milieux est plane.
  • Les fluides ne sont pas miscibles.
𝑅≕𝐼𝑟𝐼𝑖=(𝑍1−𝑍2𝑍1+𝑍2)2𝑇≕𝐼𝑡𝐼𝑖=4𝑍1𝑍2(𝑍1+𝑍2)2
avec 𝐼𝑖 l’intensité acoustique de l’OPPH incidente (W m−2) ; 𝐼𝑟 l’intensité acoustique de l’OPPH réfléchie (W m−2) ; 𝐼𝑡 l’intensité acoustique de l’OPPH transmise (W m−2) ; 𝑍1 l’impédance acoustique du milieu de l’onde incidente (Pa ⁠s m−1) ; 𝑍2 l’impédance acoustique du milieu de l’onde transmise (Pa ⁠s m−1).

Lorsque 𝑍1=𝑍2, la puissance transmise est maximale, on dit qu’il y a adaptation d’impédance.

Application 1 ✍
Calculer le coefficient de transmission en puissance pour l’interface air-eau. 𝑍air=4⋅102 Pa ⁠s m−1 𝑍eau=1,5⋅106 Pa ⁠s m−1.
Application 2 ✍
Montrer que l’énergie est conservée lors de la réflexion et transmission à l’interface.

2. Cas des ondes électromagnétiques

2.1. Courant surfacique

Dans un conducteur ohmique, le champ électrique des ondes électromagnétiques engendre un courant électrique d’après la loi d’Ohm locale. Ces ondes y restent en surface et ne pénètrent que de quelques fois la profondeur de peau : les courants électriques sont donc localisés en surface du conducteur. Lorsque les courants sont ainsi répartis à la surface, il est possible de les modéliser par des courants surfaciques.

Point clé 4 – Vecteur densité surfacique de courant ♥︎
𝐼=∫𝒞︀𝑗⃗𝑆⋅𝑛⃗d𝑙

où 𝒞︀ est une courbe tracée sur la surface parcourue par les courants et 𝑛⃗ le vecteur unitaire normal à 𝒞︀, tangent à cette surface.

avec 𝐼 le courant électrique (A) ; 𝑗⃗𝑆 le vecteur densité surfacique de courant (A m−1).

2.2. Relations de passage

Les composantes des champs magnétique et électrique vérifient des relations de passage aux interfaces entre deux milieux.

Point clé 5 – Relations de passage sur le champ électrique
𝐸⃗2−𝐸⃗1=𝜎𝜀0𝑛⃗1→2
avec 𝐸⃗1 le champ électrique dans le milieu 1 (V m−1) ; 𝐸⃗2 le champ électrique dans le milieu 2 (V m−1) ; 𝜎 la densité surfacique de charge de l’interface (C m−2) ; 𝜀0 la permittivité diélectrique du vide (F m−1) ; 𝑛⃗1→2 un vecteur unitaire allant du milieu 1 vers le milieu 2 (sans unité).
Application 3 ✍
Que peut-on dire des composantes du champ électrique tangentes à l’interface ?
Point clé 6 – Relations de passage sur le champ magnétique
𝐵⃗2−𝐵⃗1=𝜇0𝑗⃗𝑆∧𝑛⃗1→2
avec 𝐵⃗1 le champ magnétique dans le milieu 1 (T) ; 𝐵⃗2 le champ magnétique dans le milieu 2 (T) ; 𝑗⃗𝑆 le vecteur densité surfacique de courant (A m−1) ; 𝜇0 la perméabilité magnétique du vide (H m−1) ; 𝑛⃗1→2 un vecteur unitaire allant du milieu 1 vers le milieu 2 (sans unité).
Application 4 ✍
Que peut-on dire de la composante du champ magnétique normale à l’interface ?

2.3. Réflexion sur un métal parfait

Lorsqu’une onde électromagnétique arrive sur un métal parfait, elle se réfléchit.

Point clé 7 – Onde réfléchie ✍

Hypothèses :

  • L’onde incidente s’écrit 𝐸⃗𝑖=𝐸0𝑒𝑗(𝜔𝑡−𝑘𝑥)𝑒⃗𝑦.
  • L’onde arrive en incidence normale et l’interface est en 𝑥=0.
  • Le métal est parfait.
  • L’onde réfléchie est une OPPH 𝐸⃗𝑟=𝐸0,𝑟𝑒𝑗(𝜔𝑡+𝑘𝑥)𝑒⃗𝑦.
𝐸⃗𝑟=−𝐸0𝑒𝑗(𝜔𝑡+𝑘𝑥)𝑒⃗𝑦
avec 𝐸⃗𝑟 le champ électrique de l’onde réfléchie (V m−1) ; 𝐸0 l’amplitude de l’onde incidente (V m−1) ; 𝜔 la pulsation de l’onde incidente (rad s−1) ; 𝑘 le nombre d’onde de l’onde incidente (rad m−1).

La réflexion sur un métal parfait est totale.

Application 5 ✍
Exprimer les champs électrique et magnétique réels totaux.

L’onde totale est une onde stationnaire pour laquelle l’interface est un nœud pour 𝐸⃗.

La réflexion de l’onde sur le métal induit un courant à sa surface.

Point clé 8 – Courant surfacique induit par la réflexion sur un métal parfait ✍

Hypothèses :

  • L’onde incidente s’écrit 𝐸⃗𝑖=𝐸0𝑒𝑗(𝜔𝑡−𝑘𝑥)𝑒⃗𝑦.
  • L’onde arrive en incidence normale et l’interface est en 𝑥=0.
  • Le métal est parfait.
𝑗⃗𝑆=2𝐸0𝜇0𝑐cos(𝜔𝑡)𝑒⃗𝑦
avec 𝑗⃗𝑆 le vecteur densité surfacique de courant (A m−1) ; 𝐸0 l’amplitude de l’onde incidente (V m−1) ; 𝜇0 la perméabilité magnétique du vide (H m−1) ; 𝑐 la célérité de la lumière dans le vide (m s−1) ; 𝜔 la pulsation de l’onde incidente (rad s−1).

2.4. Coefficient de réflexion en puissance

Il est possible de calculer le coefficient de réflexion en puissance.

Point clé 9 – Coefficient de réflexion en puissance ♥︎✍

Hypothèses :

  • L’onde incidente s’écrit 𝐸⃗𝑖=𝐸0𝑒𝑗(𝜔𝑡−𝑘𝑥)𝑒⃗𝑦.
  • L’onde arrive en incidence normale et l’interface est en 𝑥=0.
  • Le métal est parfait.
𝑅≕‖⟨𝛱⃗𝑟⟩‖‖⟨𝛱⃗𝑖⟩‖=1
avec 𝑅 le coefficient de réflexion en puissance (sans unité) ; 𝛱⃗𝑟 le vecteur de Poynting de l’OPPH réfléchie (W m−2) ; 𝛱⃗𝑖 le vecteur de Poynting de l’OPPH incidente (W m−2).

2.5. Pression de radiation

https://www.youtube.com/watch?v=fEecdEzgxzA

La réflexion sur un métal parfait engendre une force surfacique sur lui appelée pression de radiation.

Point clé 10 – Force de Laplace pour un courant surfacique
𝛿𝐹⃗=𝑗⃗𝑆∧𝐵⃗moyd𝑆avec𝐵⃗moy=𝐵⃗1+𝐵⃗22

Une nappe de courant ne subit pas son propre champ : c’est la moyenne des champs de part et d’autre qui intervient.

avec 𝛿𝐹⃗ la force de Laplace exercée sur la surface d𝑆 (N) ; 𝑗⃗𝑆 le vecteur densité surfacique de courant (A m−1) ; 𝐵⃗1 le champ magnétique dans le milieu 1 (T) ; 𝐵⃗2 le champ magnétique dans le milieu 2 (T) ; d𝑆 la surface infinitésimale (m2).
Point clé 11 – Pression de radiation ✍

Hypothèses :

  • L’onde incidente s’écrit 𝐸⃗𝑖=𝐸0𝑒𝑗(𝜔𝑡−𝑘𝑥)𝑒⃗𝑦.
  • L’onde arrive en incidence normale et l’interface est en 𝑥=0.
  • Le métal est parfait.
𝑃=⟨‖𝛿𝐹⃗‖d𝑆⟩=𝜀0𝐸02
avec 𝑃 la pression de radiation (Pa) ; 𝛿𝐹⃗ la force de Laplace exercée sur la surface d𝑆 (N) ; d𝑆 la surface infinitésimale (m2) ; 𝜀0 la permittivité diélectrique du vide (F m−1) ; 𝐸0 l’amplitude de l’onde incidente (V m−1).
Application 6 ✍
La sonde spatiale IKAROS est le premier prototype utilisant une voile solaire comme moyen de propulsion. Sa voile mesure 173⁠ ⁠m2. On assimile la lumière du Soleil à une onde électromagnétique monochromatique d’amplitude 600⁠ ⁠V m−1. Calculer la force subie par la sonde.