Angle de Brewster — Physique des ondes 3 : Interfaces entre deux milieux

On étudie une OPPH électromagnétique polarisée rectilignement qui arrive sur une interface entre deux milieux d’indices de réfraction

𝑛_{1}

𝑛_{2}

. Cette onde incidente donne naissance à une OPPH réfléchie et une OPPH transmise.

À l’interface, les composantes du champ électrique et du champ magnétique tangentes à l’interface sont continues.

On note

𝐸_{𝑖}

𝐸_{𝑟}

𝐸_{𝑡}

les amplitudes complexes des champs électriques de l’onde incidente, réfléchie et transmise respectivement.

On suppose que les ondes incidente, réfléchie et transmise ont la même pulsation. On fait également l’hypothèse que les ondes sont polarisées dans le plan d’incidence.

Corrigé

La relation de structure donne

{\begin{cases} {\vec{𝐵}}_{𝑖} = \frac{𝑛_{1}}{𝑐} 𝐸_{𝑖} {\vec{𝑒}}_{𝑧} \\ {\vec{𝐵}}_{𝑟} = \frac{𝑛_{1}}{𝑐} 𝐸_{𝑟} {\vec{𝑒}}_{𝑧} \\ {\vec{𝐵}}_{𝑡} = \frac{𝑛_{2}}{𝑐} 𝐸_{𝑡} {\vec{𝑒}}_{𝑧} \end{cases}

Les relations de continuité donnent

{\begin{cases} {\vec{𝐸}}_{𝑖} \cdot {\vec{𝑒}}_{𝑥} + {\vec{𝐸}}_{𝑟} \cdot {\vec{𝑒}}_{𝑥} = {\vec{𝐸}}_{𝑡} \cdot {\vec{𝑒}}_{𝑥} \\ {\vec{𝐵}}_{𝑖} \cdot {\vec{𝑒}}_{𝑧} + {\vec{𝐵}}_{𝑟} \cdot {\vec{𝑒}}_{𝑧} = {\vec{𝐵}}_{𝑡} \cdot {\vec{𝑒}}_{𝑧} \end{cases}

Or ${\vec{𝐸}}_{𝑟}$ est orienté vers le haut à gauche sur la figure : sa composante suivant ${\vec{𝑒}}_{𝑥}$ vaut $- cos (𝜃_{𝑟}) 𝐸_{𝑟}$ . Il vient

{\begin{cases} cos (𝜃_{𝑖}) 𝐸_{𝑖} - cos (𝜃_{𝑟}) 𝐸_{𝑟} = cos (𝜃_{𝑡}) 𝐸_{𝑡} \\ 𝑛_{1} 𝐸_{𝑖} + 𝑛_{1} 𝐸_{𝑟} = 𝑛_{2} 𝐸_{𝑡} \end{cases}

2/ En déduire l’expression de l’amplitude complexe des ondes réfléchie et transmise en fonction de l’amplitude complexe de l’onde incidente, des indices de réfraction et des angles d’incidence, de réflexion et de transmission.

Corrigé

En résolvant le système d’équations, on trouve

{\begin{cases} 𝐸_{𝑟} = \frac{𝑛_{2} cos (𝜃_{𝑖}) - 𝑛_{1} cos (𝜃_{𝑡})}{𝑛_{2} cos (𝜃_{𝑟}) + 𝑛_{1} cos (𝜃_{𝑡})} 𝐸_{𝑖} \\ 𝐸_{𝑡} = \frac{𝑛_{1} cos (𝜃_{𝑖}) + 𝑛_{1} cos (𝜃_{𝑟})}{𝑛_{2} cos (𝜃_{𝑟}) + 𝑛_{1} cos (𝜃_{𝑡})} 𝐸_{𝑖} \end{cases}

Dans la suite, on s’intéresse à l’angle d’incidence pour lequel l’onde réfléchie est d’amplitude nulle. Cet angle est appelé angle de Brewster.

Corrigé

À l’angle de Brewster, on a $𝐸_{𝑟} = 0$ , soit

𝑛_{2} cos (𝜃_{𝑖}) - 𝑛_{1} cos (𝜃_{𝑡}) = 0

d’où

cos (𝜃_{𝑡}) = (\frac{𝑛_{2}}{𝑛_{1}}) cos (𝜃_{𝑖})

L’autre relation s’obtient en utilisant la relation de Snell-Descartes :

sin (𝜃_{𝑡}) = (\frac{𝑛_{1}}{𝑛_{2}}) sin (𝜃_{𝑖})

Corrigé

En sommant les deux équations de la question précédente, on trouve

1 = {(\frac{𝑛_{2}}{𝑛_{1}})}^{2} {cos}^{2} (𝜃_{𝑖}) + {(\frac{𝑛_{1}}{𝑛_{2}})}^{2} {sin}^{2} (𝜃_{𝑖})

En utilisant ${cos}^{2} (𝜃_{𝑖}) = 1 - {sin}^{2} (𝜃_{𝑖})$ , on obtient

\begin{matrix} 1 = {(\frac{𝑛_{2}}{𝑛_{1}})}^{2} (1 - {sin}^{2} (𝜃_{𝑖})) + {(\frac{𝑛_{1}}{𝑛_{2}})}^{2} {sin}^{2} (𝜃_{𝑖}) \\ {sin}^{2} (𝜃_{𝑖}) = \frac{𝑛_{2}^{2}}{𝑛_{1}^{2} + 𝑛_{2}^{2}} \end{matrix}

5/ En déduire l’expression de l’angle de Brewster en fonction des indices de réfraction

𝑛_{1}

𝑛_{2}

Corrigé

On part de $sin (𝜃_{𝑖}) = \frac{𝑛_{2}}{\sqrt{𝑛_{1}^{2} + 𝑛_{2}^{2}}}$ . Cette relation peut s’interpréter géométriquement.

Sur la même figure, on a également la relation $tan (𝜃_{𝑖}) = \frac{𝑛_{2}}{𝑛_{1}}$ , soit

𝜃_{𝑖} = arctan (\frac{𝑛_{2}}{𝑛_{1}})

On envoie de la lumière non polarisée sur l’interface à un angle d’incidence égal à l’angle de Brewster.

Corrigé

La lumière non polarisée peut être vue comme la superposition de deux ondes électromagnétiques polarisées rectilignement, l’une dans le plan d’incidence et l’autre perpendiculaire au plan d’incidence. À l’angle de Brewster, l’onde polarisée dans le plan d’incidence est totalement transmise, tandis que l’onde polarisée perpendiculairement au plan d’incidence est partiellement réfléchie. Ainsi, la lumière réfléchie est polarisée rectilignement dans la direction perpendiculaire au plan d’incidence.

7/ Quelle est la direction du filtre polarisant sur la photo de droite ? Justifier votre réponse.

Corrigé

Le plan d’incidence est horizontal.

La composante de la lumière polarisée dans le plan d’incidence n’est pas réfléchie. La lumière réfléchie est donc polarisée perpendiculairement au plan d’incidence, c’est-à-dire verticalement.

Le filtre polarisant coupe cette lumière réfléchie, il est donc orienté horizontalement.

Angle de Brewster ★★