Amortisseur de Stockbridge — Physique des ondes 3 : Interfaces entre deux milieux

Cet exercice est un problème ouvert. Il nécessite de prendre des initiatives et de faire des choix dans la modélisation. Des approximations et des estimations sont souvent nécessaires pour arriver à une solution.

Les amortisseurs de Stockbridge sont utilisés pour réduire les vibrations dans les câbles dues au vent, notamment ceux des ponts suspendus ou des lignes haute tension. Ils se comportent comme des amortisseurs et exercent une force verticale

𝐹 = - 𝛼 𝑣

sur le câble où

𝑣

est la vitesse verticale du câble.

On s’intéresse à un câble en aluminium (de masse volumique

2,7 g {cm}^{- 3}

) de section

500

⁠

{mm}^{2}

sur lequel on veut installer un amortisseur de Stockbridge pour éliminer les vibrations. On suppose que le câble est tendu par une force de

1000

⁠

N

Quel paramètre de l’amortisseur de Stockbridge doit-on choisir pour que les vibrations soient éliminées, c’est-à-dire pour qu’une onde incidente ne donne lieu à aucune onde réfléchie ?

Corrigé

On modélise les ondes incidente et réfléchie dans la ligne par

{\begin{cases} 𝑦_{𝑖} = 𝑦_{𝑖, 0} 𝑒^{𝑖 (𝜔 𝑡 + 𝑘 𝑥)} \\ 𝑦_{𝑟} = 𝑦_{𝑟, 0} 𝑒^{𝑖 (𝜔 𝑡 - 𝑘 𝑥)} \end{cases}

La condition aux limites s’obtient en appliquant le théorème de la résultante cinétique à une portion de câble très courte au niveau de l’amortisseur de Stockbridge. En notant $𝜃$ l’angle que fait le câble avec l’horizontale, on trouve

\vec{𝑇} (𝑥 = 0, 𝑡) \cdot {\vec{𝑒}}_{𝑦} + 𝐹 = 0

𝜃 (𝑥 = 0, 𝑡) 𝑇 - 𝛼 \frac{𝜕 𝑦}{𝜕 𝑡} |_{𝑥 = 0} = 0

𝑇 {\frac{𝜕 𝑦}{𝜕 𝑥} |}_{𝑥 = 0} - 𝛼 \frac{𝜕 𝑦}{𝜕 𝑡} |_{𝑥 = 0} = 0

𝑖 𝑘 𝑇 𝑦_{𝑖, 0} - 𝑖 𝑘 𝑇 𝑦_{𝑟, 0} - 𝛼 𝑖 𝜔 𝑦_{𝑖, 0} - 𝛼 𝑖 𝜔 𝑦_{𝑟, 0} = 0

𝑦_{𝑟, 0} (- 𝑘 𝑇 - 𝛼 𝜔) = 𝑦_{𝑖, 0} (- 𝑘 𝑇 + 𝛼 𝜔)

𝑦_{𝑟, 0} = \frac{- 𝑘 𝑇 + 𝛼 𝜔}{- 𝑘 𝑇 - 𝛼 𝜔} 𝑦_{𝑖, 0} = \frac{𝑘 𝑇 - 𝛼 𝜔}{𝑘 𝑇 + 𝛼 𝜔} 𝑦_{𝑖, 0}

Il n’existe pas d’onde réfléchie si $𝑦_{𝑟, 0} = 0$ , c’est-à-dire si

𝛼 = 𝑘 \frac{𝑇}{𝜔} = \frac{𝑇}{𝑐} = \sqrt{𝑇 𝜇}

où la masse linéique $𝜇$ est liée à la masse volumique $𝜌$ par $𝜇 = 𝜌 𝑆$ , d’où

𝛼 = \sqrt{𝑇 𝜌 𝑆} = 3,7

⋅101 N ⁠s m−1

🤔 Amortisseur de Stockbridge