Ondes sonores dans un fluide visqueux — Physique des ondes 2 : Phénomènes de propagation linéaires : absorption et dispersion

On étudie une onde sonore dans un fluide. L’onde est plane, progressive et se déplace dans le sens des

𝑥

croissants. Au repos, la masse volumique du fluide est

𝜌_{0}

et la pression

𝑃_{0}

. Le coefficient de compressibilité adiabatique est

𝜒_{𝑆}

. L’effet de la pesanteur est négligé. On se place dans le cadre de l’approximation acoustique.

On tient compte de la viscosité du fluide. La résultante volumique des forces de viscosité est

𝜂 Δ \vec{𝑣}

, où

𝑣

est le champ des vitesses dans le fluide. On note

𝑃_{1}

le champ de surpression.

1/ Montrer que le théorème de la résultante cinétique appliqué à une particule de fluide, dans l’approximation acoustique, en projection sur l’axe

(𝑂 𝑥)

donne

Coup de pouce 1

Reprendre le PFD sur une particule de fluide du cours, en ajoutant cette fois ci la force de viscosité.

Coup de pouce 2

L’énoncé précise que l’onde se propage selon

𝑥

. Simplifier les opérateurs vectoriels dans ce cas.

Corrigé

Le TRC appliqué à une particule de fluide s’écrit

𝜌_{0} d 𝑉 \frac{𝜕 \vec{𝑣}}{𝜕 𝑡} = - \vec{grad} (𝑃_{1}) d 𝑉 + 𝜂 Δ \vec{𝑣} d 𝑉

En projection sur l’axe $(𝑂 𝑥)$ , on trouve l’équation donnée dans l’énoncé.

Coup de pouce 1

L’équation thermodynamique et l’équation locale de conservation de la masse restent inchangées.

Coup de pouce 2

Dériver l’équation locale de conservation de la masse d’une part par rapport à

𝑥

et d’autre part par rapport à

𝑡

afin d’éliminer les

𝑣_{1}

de l’équation de la question 1.

Corrigé

L’équation locale de conservation de la masse s’écrit

\frac{𝜕 𝜌_{1}}{𝜕 𝑡} = - 𝜌_{0} div \vec{𝑣} = - 𝜌_{0} \frac{𝜕 𝑣}{𝜕 𝑥}

L’équation thermodynamique s’écrit

𝜌_{1} = 𝜌_{0} 𝜒_{𝑆} 𝑃_{1}

On obtient alors

\frac{𝜕 𝜌_{1}}{𝜕 𝑡} = 𝜌_{0} 𝜒_{𝑆} \frac{𝜕 𝑃_{1}}{𝜕 𝑡} = - 𝜌_{0} \frac{𝜕 𝑣}{𝜕 𝑥}

D’où

𝜒_{𝑆} \frac{𝜕 𝑃_{1}}{𝜕 𝑡} = - \frac{𝜕 𝑣}{𝜕 𝑥}

En dérivant l’équation de la question 1 par rapport à $𝑥$ et celle-ci par rapport à $𝑡$ , on trouve

{\begin{cases} 𝜌_{0} \frac{𝜕^{2} 𝑣}{𝜕 𝑥 𝜕 𝑡} = - \frac{𝜕^{2} 𝑃_{1}}{𝜕 𝑥^{2}} + 𝜂 \frac{𝜕^{3} 𝑣}{𝜕 𝑥^{3}} \\ 𝜌_{0} 𝜒_{𝑆} \frac{𝜕^{2} 𝑃_{1}}{𝜕 𝑡^{2}} = - 𝜌_{0} \frac{𝜕^{2} 𝑣}{𝜕 𝑡 𝜕 𝑥} \end{cases}

On peut alors appliquer le théorème Schwarz et combiner ces équations :

𝜌_{0} 𝜒_{𝑆} \frac{𝜕^{2} 𝑃_{1}}{𝜕 𝑡^{2}} = \frac{𝜕^{2} 𝑃_{1}}{𝜕 𝑥^{2}} - 𝜂 \frac{𝜕^{3} 𝑣}{𝜕 𝑥^{3}} = \frac{𝜕^{2} 𝑃_{1}}{𝜕 𝑥^{2}} + 𝜂 𝜒_{𝑆} \frac{𝜕^{2}}{𝜕 𝑥^{2}} \frac{𝜕 𝑃_{1}}{𝜕 𝑡}

Soit, en introduisant la célérité du son $𝑐 = \frac{1}{\sqrt{𝜌_{0} 𝜒_{𝑆}}}$ ,

\frac{𝜕^{2} 𝑃_{1}}{𝜕 𝑥^{2}} - \frac{1}{𝑐^{2}} \frac{𝜕^{2} 𝑃_{1}}{𝜕 𝑡^{2}} = - 𝜂 𝜒_{𝑆} \frac{𝜕^{2}}{𝜕 𝑥^{2}} \frac{𝜕 𝑃_{1}}{𝜕 𝑡}

3/ L’onde est plane, progressive et harmonique de fréquence

𝑓 = 1,0

⋅103 Hz et se propage dans le sens des

𝑥

croissants. On suppose le milieu faiblement dispersif, c’est-à-dire

𝜂 𝜒_{𝑆} 𝜔 ≪ 1

. Établir la relation de dispersion puis l’épaisseur de peau, dont on effectuera l’application numérique pour l’air à

20

⁠

°C

. On donne la viscosité de l’air

𝜂 = 1,85

⋅10−5 Pl.

Coup de pouce 1

Passer en complexes l’équation d’onde.

Coup de pouce 2

Simplifier l’équation de dispersion compte tenu de l’hypothèse pour obtenir

𝑘^{2} \approx \frac{𝜔^{2}}{𝑐^{2}} 𝑒^{- 𝑗 𝜂 𝜒_{𝑆} 𝜔}

Coup de pouce 3

Quelle relation relie l’épaisseur de peau avec le nombre d’onde complexe ?

Corrigé

En complexe l’équation d’onde donne

- 𝑘^{2} 𝑃_{1} + \frac{1}{𝑐^{2}} 𝜔^{2} 𝑃_{1} = - 𝜂 𝜒_{𝑆} (- 𝑘^{2}) (𝑗 𝜔) 𝑃_{1}

On en déduit la relation de dispersion :

𝑘^{2} (1 + 𝑗 𝜂 𝜒_{𝑆} 𝜔) = \frac{𝜔^{2}}{𝑐^{2}}

d’où

𝑘^{2} = \frac{𝜔^{2}}{𝑐^{2}} \frac{1}{1 + 𝑗 𝜂 𝜒_{𝑆} 𝜔} = \frac{𝜔^{2}}{𝑐^{2}} \frac{1 - 𝑗 𝜂 𝜒_{𝑆} 𝜔}{1 + 𝜂^{2} 𝜒_{𝑆}^{2} 𝜔^{2}} \approx \frac{𝜔^{2}}{𝑐^{2}} (1 - 𝑗 𝜂 𝜒_{𝑆} 𝜔) \approx \frac{𝜔^{2}}{𝑐^{2}} 𝑒^{- 𝑗 𝜂 𝜒_{𝑆} 𝜔}

On en déduit $𝑘 \approx \frac{𝜔}{𝑐} 𝑒^{- 𝑗 \frac{𝜂 𝜒_{𝑆} 𝜔}{2}}$ d’où, en décomposant partie réelle et partie imaginaire :

𝑘_{𝑟} + 𝑗 𝑘_{𝑖} \approx \frac{𝜔}{𝑐} (1 - 𝑗 \frac{𝜂 𝜒_{𝑆} 𝜔}{2})

Et donc

{\begin{cases} 𝑘_{𝑟} \approx \frac{𝜔}{𝑐} \\ 𝑘_{𝑖} \approx - \frac{𝜔^{2} 𝜂 𝜒_{𝑆}}{2 𝑐} \end{cases}

Finalement

𝛿 = \frac{1}{| 𝑘_{𝑖} |} = \frac{2 𝑐}{𝜔^{2} 𝜂 𝜒_{𝑆}} = \frac{2 𝑐}{4 𝜋^{2} 𝑓^{2} 𝜂 \frac{1}{𝜌_{0} 𝑐^{2}}}

Avec $𝑐 = 340 m s^{- 1}$ , $𝜌_{0} = 1 kg m^{- 3}$ , on obtient

𝛿 = 1,1

⋅105 m

4/ Est-ce la raison pour laquelle on entend moins bien un son quand on s’éloigne de sa source ?

Coup de pouce 1

Après avoir parcouru une distance égale à l’épaisseur de peau, par combien est divisée l’amplitude de l’onde ?

Coup de pouce 2

À part l’absorption, quel autre phénomène peut être responsable de l’atténuation de l’amplitude d’une onde ?

Corrigé

Si la seule cause d’atténuation était l’absorption décrite dans cet exercice, au bout de $𝛿 \approx 1,1$ ⋅105 m, l’amplitude de l’onde serait divisée par $𝑒 \approx 2,7$ . Or, l’amplitude est bien plus faible à une si longue distance.

Les ondes sonores du quotidien ne sont pas planes mais souvent sphériques et leur atténuation est due majoritairement à un étalement de leur puissance sur des surfaces d’ondes de plus en plus grandes au fur et à mesure de leur propagation.