Germination des lys — Physique des ondes 2 : Phénomènes de propagation linéaires : absorption et dispersion

Cet exercice est un problème ouvert. Il nécessite de prendre des initiatives et de faire des choix dans la modélisation. Des approximations et des estimations sont souvent nécessaires pour arriver à une solution.

On a planté des bulbes de lys à une quinzaine de centimètres dans du terreau (diffusivité thermique de l’ordre de

1

⋅10−7⁠

⁠

m^{2} s^{- 1}

). Pour commencer leur germination, les bulbes ont besoin d’une température d’environ

10

⁠

°C

Corrigé

Pour une période $𝑇_{jour} = 24 h$ , la profondeur de peau est $𝛿_{jour} = \sqrt{\frac{2 𝐷}{𝜔}} = \sqrt{\frac{𝐷 𝑇_{jour}}{𝜋}} = 5$ ⋅10−2 m.

À une profondeur de $15$ ⁠⁠ $cm$ , l’onde de température journalière est atténuée d’un facteur $exp (- \frac{𝑑}{𝛿}) = 6$ ⋅10−2. Les variations journalières de température ne se font donc quasiment pas sentir à cette profondeur.

On modélise la température en surface par $𝑇 (0, 𝑡) = - 𝐴 cos (𝜔 𝑡) + 𝑇_{0}$ avec $𝐴 = \frac{19 - 7}{2} = 6 °C$ , $𝑇_{0} = \frac{19 + 7}{2} = 13 °C$ et $𝜔 = \frac{2 𝜋}{𝑇_{année}} = 2$ ⋅10−7 rad s−1. L’origine des temps est prise au 1er janvier.

En complexes, cette température devient $𝑇 (0, 𝑡) = 𝑇_{0} - 𝐴 𝑒^{𝑖 𝜔 𝑡}$ .

La relation de dispersion $𝑘^{2} = - 𝑖 \frac{𝜔}{𝐷}$ se résout en $𝑘 = 𝑘_{𝑟} + 𝑖 𝑘_{𝑖}$ avec $𝑘_{𝑟} = \sqrt{\frac{𝜔}{2 𝐷}}$ et $𝑘_{𝑖} = - \sqrt{\frac{𝜔}{2 𝐷}}$ .

La température à la profondeur $𝑑$ est donnée par

𝑇 (𝑑, 𝑡) = 𝑇_{0} - 𝐴 𝑒^{𝑘_{𝑖} 𝑑} 𝑒^{𝑖 (𝜔 𝑡 - 𝑘_{𝑟} 𝑑)}

D’où

𝑇 (𝑑, 𝑡) = 𝑇_{0} - 𝐴 𝑒^{𝑘_{𝑖} 𝑑} cos (𝜔 𝑡 - 𝑘_{𝑟} 𝑑)

Pour trouver la date de germination, on résout l’équation (en notant $𝑇_{𝑔}$ la température de germination) :

\begin{matrix} 𝑇 (𝑑, 𝑡) = 𝑇_{𝑔} \\ 𝑇_{0} - 𝐴 𝑒^{𝑘_{𝑖} 𝑑} cos (𝜔 𝑡 - 𝑘_{𝑟} 𝑑) = 𝑇_{𝑔} \\ cos (𝜔 𝑡 - 𝑘_{𝑟} 𝑑) = \frac{𝑇_{0} - 𝑇_{𝑔}}{𝐴 𝑒^{𝑘_{𝑖} 𝑑}} \\ 𝜔 𝑡 - 𝑘_{𝑟} 𝑑 = arccos (\frac{𝑇_{0} - 𝑇_{𝑔}}{𝐴 𝑒^{𝑘_{𝑖} 𝑑}}) \\ 𝑡 = \frac{arccos (\frac{𝑇_{0} - 𝑇_{𝑔}}{𝐴 𝑒^{𝑘_{𝑖} 𝑑}}) + 𝑘_{𝑟} 𝑑}{𝜔} \approx 6,4 \end{matrix}

⋅101jours

La germination commence donc $6,4$ ⋅101jours après le 1er janvier, soit vers le début du mois de mars.

🤔 Germination des lys ★★