Physique des ondes 2
Phénomènes de propagation linéaires : absorption et dispersion

Résumé du cours

1. Ondes dans les milieux diffusifs

1.1. Onde électromagnétique dans un conducteur ohmique

Un conducteur ohmique est un milieu où la loi d’Ohm locale est vérifiée.

Exemple 1
Solution électrolytique, métal.
1.1.1. Retour sur le modèle de Drude

La loi d’Ohm locale a été démontrée en supposant le champ électrique uniforme et stationnaire, et en l’absence de champ magnétique.

Application 1 ✍
Comparer en ordre de grandeur les termes électrique et magnétique de la force de Lorentz.
Application 2 ✍
On peut supposer le champ uniforme à condition qu’il varie peu à l’échelle du libre parcours moyen des porteurs de charge (0⋅10−8 m). Calculer jusqu’à quelle fréquence cette hypothèse est valide dans le cuivre.

La loi d’Ohm locale reste valable à condition que le temps moyen entre deux chocs soit très petit devant la période de l’onde.

1.1.2. Équation de propagation
Point clé 1 – Neutralité locale du métal ♥︎✍

Hypothèses :

  • La fréquence 𝑓<0⋅1014 Hz
  • La conductivité est du même ordre de grandeur que celle du cuivre
𝜌≈0
avec 𝜌 la densité volumique de charge (C m−3).
Point clé 2 – Équation de propagation de l’onde ♥︎✍

Hypothèses :

  • La fréquence 𝑓<0⋅1014 Hz
  • La conductivité est du même ordre de grandeur que celle du cuivre
𝜕𝐸⃗𝜕𝑡−𝐷𝛥⃗𝐸⃗=0
avec 𝐸⃗ le champ électrique (V m−1) ; 𝐷 =1𝜇0𝛾 le coefficient de diffusion (m2 s−1) ; 𝜇0 la perméabilité magnétique du vide (H m−1) ; 𝛾 la conductivité électrique du milieu (S m−1).

Dans un conducteur ohmique, le champ électrique obéit à une équation de diffusion, tout comme la température (cf chapitre transfert thermique par conduction).

1.1.3. Relation de dispersion
Point clé 3 – Relation de dispersion pour une OPPH dans un milieu diffusif ✍

Hypothèses :

  • L’onde vérifie une équation de diffusion
  • L’onde est une OPPH
𝑘2=−𝑗𝜔𝐷
avec 𝜔 la pulsation (rad s−1) ; 𝑘 le nombre d’onde (rad m−1) ; 𝐷 =1𝜇0𝛾 le coefficient de diffusion (m2 s−1).

Cette relation de dispersion n’admet pas de solution réelle. On introduit le nombre d’onde complexe 𝑘=𝑘𝑟+𝑗𝑘𝑖 solution de la relation de dispersion.

2. Ondes progressives en milieu linéaire

2.1. Milieu linéaire

Pour une équation aux dérivées partielles linéaire, si 𝑦1 et 𝑦2 sont solutions, alors 𝜆𝑦1+𝜇𝑦2 est également solution.

Exemple 2
Équation de d’Alembert, équation de diffusion.

Un milieu linéaire est un milieu dans lequel les équations aux dérivées partielles décrivant l’évolution des grandeurs sont linéaires.

Exemple 3
L’air est un milieu linéaire pour les ondes sonores dans l’approximation acoustique. Les milieux homogènes sont des milieux linéaires pour les ondes thermiques.

2.2. Onde progressive harmonique

La définition d’une OPH peut être élargie pour être solution de n’importe quelle équation aux dérivées partielles linéaire.

Point clé 4 – Onde progressive harmonique ♥︎
𝑦(𝑀,𝑡)=𝑦0𝑒𝑗(𝜔𝑡−𝑘⃗.𝑂𝑀⃗)
avec 𝜔 la pulsation (rad s−1) ; 𝑘⃗ =𝑘𝑢⃗ le vecteur d’onde complexe (rad m−1) ; 𝑘 =𝑘𝑟+𝑗𝑘𝑖 le nombre d’onde complexe (rad m−1) ; 𝑢⃗ le vecteur unitaire dans lequel l’onde se propage ; 𝑦0 =𝑦0𝑒𝑗𝜑 l’amplitude complexe ; 𝑦0 l’amplitude ; 𝜑 la phase à l’origine (rad).
Application 3 ✍
Déterminer l’expression réelle d’une OPH. On notera 𝑘=𝑘𝑟+𝑗𝑘𝑖.

2.3. Paquet d’onde

https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/c/c1/Wave_packet_%28no_dispersion%29.gif

Une OPH a une extension temporelle et spatiale infinie, ce qui ne correspond pas aux ondes réelles.

Un paquet d’onde est une superposition d’OPH de pulsations proches et d’extension spatiale et temporelle finie.

Dans un milieu linéaire, on peut étudier la propagation d’un paquet d’onde en étudiant la propagation de chacune des OPH qui le composent.

Schéma 1 – Représentations temporelle et fréquentielle d’un paquet d’onde

La largeur spectrale du paquet d’onde est reliée à son étendue temporelle.

Point clé 5 – Relation entre étendue temporelle et largeur spectrale ♥︎
Δ𝑓∼1Δ𝑡
avec Δ𝑓 la largeur spectrale du paquet d’onde (Hz) ; Δ𝑡 l’étendue temporelle du paquet d’onde (s).
Application 4 ✍
Un laser femtoseconde produit des impulsions de très courte durée (de l’ordre de la centaine de femtosecondes). Calculer l’ordre de grandeur de la largeur spectrale d’un laser femtoseconde rouge et comparer à la fréquence moyenne.

2.4. Vitesse de phase

La partie réelle de 𝑘 est en lien avec la propagation de la phase.

Point clé 6 – Vitesse de phase ♥︎
𝑣𝜑=𝜔Re(𝑘)
avec 𝜔 la pulsation (rad s−1) ; 𝑘 =𝑘𝑟+𝑗𝑘𝑖 le nombre d’onde complexe (rad m−1).

La vitesse de phase représente la vitesse à laquelle la phase se propage.

Un milieu dispersif est un milieu dans lequel la vitesse de phase dépend de la pulsation.

Application 5 ✍
Déterminer la vitesse de phase d’une OPPH se propageant dans le sens des 𝑥 croissants dans un milieu vérifiant l’équation de diffusion. Le milieu est-il dispersif ?

Dans un milieu dispersif, les différentes composantes d’un paquet d’onde se propagent à des vitesses différentes, ce qui entraine un étalement du paquet d’onde.

https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/b/b0/Wave_packet_%28dispersion%29.gif

2.5. Profondeur de peau

La partie imaginaire de 𝑘 est liée à la variation de l’amplitude au cours de la propagation de l’onde.

Point clé 7 – Profondeur de peau1 ♥︎
𝛿=1|Im(𝑘)|
avec 𝛿 la profondeur de peau (m) ; 𝑘 =𝑘𝑟+𝑗𝑘𝑖 le nombre d’onde complexe (rad m−1).

Quand l’onde a parcouru quelques fois la profondeur de peau, son amplitude devient négligeable.

Application 6 ✍
Déterminer la profondeur de peau d’une OPPH se propageant dans le sens des 𝑥 croissants dans un milieu vérifiant l’équation de diffusion.

Au fur et à mesure de la propagation dans un conducteur ohmique, l’onde électromagnétique perd de l’énergie qui est convertie en chaleur par effet Joule.

Point clé 8 – Profondeur de peau dans le cuivre pour la fréquence du secteur ♥︎✍

Hypothèses :

  • La conductivité du cuivre est 6⋅107⁠ ⁠S m−1
  • La fréquence est celle du secteur (50 Hz)
𝛿cuivre≈1 cm
Application 7 ✍
Calculer la profondeur de peau pour une onde thermique dans un sol de diffusivité thermique 1⋅10−6⁠ ⁠m2 s−1 en considérant les variations journalières de température.

2.6. Vitesse de groupe

Dans un milieu dispersif, toutes les pulsations ne se propagent pas à la même vitesse. Il en résulte un étalement des paquets d’onde.

Application 8 ✍
On considère un paquet d’onde simplifié constitué de deux OPH de fréquences proches : 𝑦(𝑥,𝑡)=cos(𝜔𝑡−𝑘𝑥)+cos((𝜔+d𝜔)𝑡−(𝑘+d𝑘)𝑥). En l’écrivant comme un produit de cosinus, montrer que son enveloppe se propage à la vitesse d𝜔d𝑘 et que sa phase se propage à la vitesse 𝜔𝑘.
Point clé 9 – Vitesse de groupe ♥︎
𝑣𝑔=d𝜔dRe(𝑘)
avec 𝑣𝑔 la vitesse de groupe (m s−1) ; 𝜔 la pulsation (rad s−1) ; 𝑘 =𝑘𝑟+𝑗𝑘𝑖 le nombre d’onde complexe (rad m−1).
https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/b/bd/Wave_group.gif?uselang=fr

La vitesse de groupe est la vitesse à laquelle l’enveloppe d’un paquet d’onde se propage.

2.7. Aspect énergétique pour une OPPH dans un conducteur ohmique

Application 9 ✍
On considère une OPPH électromagnétique dans un conducteur ohmique 𝐸⃗=𝐸0𝑒𝑗(𝜔𝑡−𝑘𝑥)𝑒⃗𝑦. Déterminer le champ magnétique puis le vecteur de Poynting.

L’onde a de moins en moins d’énergie au fur et à mesure de sa propagation. Le conducteur ohmique a absorbé de l’énergie qui a été convertie en chaleur par effet Joule.

Un métal parfait est un métal de conductivité électrique infinie.

Dans un métal parfait, la profondeur de peau est nulle. Dans un métal parfait, les champs électrique et magnétique sont nuls.

3. Ondes électromagnétiques dans un plasma

3.1. Le plasma

Un plasma est un état de la matière. Dans un plasma, des atomes ou des molécules ont été ionisés. Dans un plasma, il y a des électrons, des cations et éventuellement des espèces neutres. Un plasma est globalement neutre.

Exemple 4
Les éclairs, le Soleil et les flammes de haute température sont des plasmas.
Exemple 5
L’ionosphère est une couche de la haute atmosphère ionisée par le rayonnement solaire.

Dans un plasma dilué, la concentration est faible. Dans un plasma dilué, les particules n’interagissent pas entre elles.

3.2. Conductivité d’un plasma

Les ions ont une masse bien supérieure à celle des électrons, le déplacement des ions peut donc être négligé.

Point clé 10 – Conductivité d’un plasma ✍

Hypothèses :

  • Pour une OPPH polarisée rectilignement
  • Le plasma est dilué
  • Les ions sont immobiles
𝛾=−𝑗𝑛𝑒2𝜔𝑚𝑒
avec 𝛾 la conductivité électrique du milieu (S m−1) ; 𝑛 la densité particulaire d’électrons (m−3) ; 𝜔 la pulsation (rad s−1) ; 𝑚𝑒 la masse d’un électron (kg) ; 𝑒 la charge élémentaire (C).

La conductivité est imaginaire, ce qui traduit un déphasage entre le champ électrique et le vecteur densité volumique de courant.

Application 10 ✍
On considère une OPPH 𝐸⃗=𝐸0𝑒𝑗(𝜔𝑡−𝑘𝑥)𝑒⃗𝑦. Déterminer le vecteur densité volumique de courant électrique puis la densité volumique de puissance cédée par l’onde aux porteurs de charge et enfin sa valeur moyenne.

Un plasma ne reçoit en moyenne pas de puissance du champ électromagnétique.

3.3. Relation de dispersion

Point clé 11 – Relation de dispersion ✍

Hypothèses :

  • Pour une OPPH polarisée rectilignement
  • Le plasma est dilué
  • Les ions sont immobiles
𝑘2=𝜔2𝑐2(1−(𝜔𝑝2𝜔2))
avec 𝑘 =𝑘𝑟+𝑗𝑘𝑖 le nombre d’onde complexe (rad m−1) ; 𝜔 la pulsation (rad s−1) ; 𝜔𝑝 =𝑛𝑒2𝑚𝑒𝜀0 la pulsation plasma (rad s−1) ; 𝑐 la célérité de la lumière dans le vide (m s−1) ; 𝑛 la densité particulaire d’électrons (m−3) ; 𝑒 la charge élémentaire (C) ; 𝑚𝑒 la masse d’un électron (kg) ; 𝜀0 la permittivité diélectrique du vide (F m−1).

Les solutions de la relation de dispersion dépendent du signe de 1−𝜔𝑝2𝜔2.

Application 11 ✍
Calculer la pulsation plasma pour l’ionosphère (𝑛≈0⋅105 cm−3).

La fréquence de coupure correspondant à la pulsation plasma est de l’ordre de 10⁠ ⁠MHz pour l’ionosphère.

3.4. Pulsation supérieure à la pulsation plasma

Dans ce cas, la relation de dispersion a deux solutions réelles : 𝑘=±𝜔𝑐(1−𝜔𝑝2𝜔2).

Le nombre d’onde est réel, ce qui traduit une propagation de l’onde sans atténuation dans l’ionosphère.

L’onde est une onde progressive qui transporte donc de l’énergie.

Application 12 ✍
Déterminer les vitesses de phase 𝑣𝜑 et de groupe 𝑣𝑔 pour une OPPH dans l’ionosphère vérifiant 𝜔>𝜔𝑝. Tracer 𝑣𝜑 et 𝑣𝑔 en fonction de 𝜔. L’ionosphère est-elle un milieu dispersif ?

3.5. Pulsation inférieure à la pulsation plasma

Dans ce cas, la relation de dispersion a deux solutions imaginaires pures : 𝑘=±𝑗𝜔𝑐𝜔𝑝2𝜔2−1.

L’onde obtenue est une onde évanescente. Une onde évanescente est une onde stationnaire qui décroit exponentiellement avec la position.

Point clé 12 – Onde évanescente ♥︎
𝑦(𝑥,𝑡)=𝑦0cos(𝜔𝑡+𝜑)𝑒𝑘𝑖𝑥
avec 𝜔 la pulsation (rad s−1) ; 𝑘𝑖 la partie imaginaire du nombre d’onde complexe (rad m−1).
Application 13 ✍
Déterminer le vecteur de Poynting pour une onde évanescente 𝐸⃗=𝐸0cos(𝜔𝑡+𝜑)𝑒𝑘𝑖𝑥𝑒⃗𝑦 puis sa valeur moyenne.

Une onde évanescente ne transporte pas d’énergie en moyenne.

Lorsque 𝜔<𝜔𝑝 les ondes ne traversent pas l’ionosphère, elles sont réfléchies.

  1. 1Aussi appelée épaisseur de peau ou longueur de pénétration.