Corde vibrante soumise à des frottements visqueux — Physique des ondes 2 : Phénomènes de propagation linéaires : absorption et dispersion

On étudie une corde vibrante, de longueur

𝐿

, de masse linéique

𝜇

, attachée à ses deux extrémités. Elle est confondue avec l’axe

(𝑂 𝑥)

au repos. Elle est tendue sous une tension

𝑇

et est soumise à une force dissipative de frottement fluide : un élément de longueur

d 𝑥

de corde, dont le déplacement

𝑦 (𝑥, 𝑡)

est transversal suivant

{\vec{𝑒}}_{𝑦}

est soumis à la force

- 𝛼 \frac{𝜕 𝑦}{𝜕 𝑡} d 𝑥 {\vec{𝑒}}_{𝑦}

1/ Établir l’équation d’onde vérifiée par l’onde dans la corde. On introduira les coefficients

𝑐 = \sqrt{\frac{𝑇}{𝜇}}

𝑎 = \frac{𝛼}{𝑇}

Coup de pouce 1

Reprendre la démonstration de l’équation de d’Alembert du cours en rajoutant la force de frottement fluide.

Corrigé

Le théorème de la résultante cinétique appliqué à un élément de corde donne

𝜇 d 𝑥 \frac{𝜕^{2} 𝑦}{𝜕 𝑡^{2}} {\vec{𝑒}}_{𝑦} = {\vec{𝑇}}_{𝑔} (𝑥) + {\vec{𝑇}}_{𝑑} (𝑥 + d 𝑥) - 𝛼 \frac{𝜕 𝑦}{𝜕 𝑡} d 𝑥 {\vec{𝑒}}_{𝑦}

La troisième loi de Newton permet d’écrire ${\vec{𝑇}}_{𝑑} (𝑥) = - {\vec{𝑇}}_{𝑔} (𝑥) ≕ \vec{𝑇} (𝑥)$ .

En utilisant la relation de Taylor, on obtient

𝜇 d 𝑥 \frac{𝜕^{2} 𝑦}{𝜕 𝑡^{2}} {\vec{𝑒}}_{𝑦} = - \vec{𝑇} (𝑥) + \vec{𝑇} (𝑥) + d 𝑥 \frac{𝜕 \vec{𝑇}}{𝜕 𝑥} - 𝛼 \frac{𝜕 𝑦}{𝜕 𝑡} d 𝑥 {\vec{𝑒}}_{𝑦}

En notant $𝜃$ l’angle formé par la corde avec l’horizontale, et en le supposant petit, on peut projeter

\vec{𝑇} = 𝑇 cos (𝜃) {\vec{𝑒}}_{𝑥} + 𝑇 sin (𝜃) {\vec{𝑒}}_{𝑦} \approx 𝑇 {\vec{𝑒}}_{𝑥} + 𝑇 𝜃 (𝑥, 𝑡) {\vec{𝑒}}_{𝑦}

La projection selon ${\vec{𝑒}}_{𝑥}$ de la relation précédente donne $\frac{𝜕 𝑇}{𝜕 𝑥} = 0$ (tension constante dans la corde), tandis que la projection selon ${\vec{𝑒}}_{𝑦}$ donne

𝜇 \frac{𝜕^{2} 𝑦}{𝜕 𝑡^{2}} = 𝑇 \frac{𝜕 𝜃}{𝜕 𝑥} - 𝛼 \frac{𝜕 𝑦}{𝜕 𝑡}

On peut enfin écrire $𝜃 \approx tan (𝜃) \approx \frac{𝜕 𝑦}{𝜕 𝑥}$ et on obtient finalement

\frac{𝜕^{2} 𝑦}{𝜕 𝑥^{2}} - \frac{1}{𝑐^{2}} \frac{𝜕^{2} 𝑦}{𝜕 𝑡^{2}} - 𝑎 \frac{𝜕 𝑦}{𝜕 𝑡} = 0

avec $𝑐 = \sqrt{\frac{𝑇}{𝜇}}$ et $𝑎 = \frac{𝛼}{𝑇}$ .

2/ On cherche une solution à variables séparées en

𝑦 (𝑥, 𝑡) = 𝑓 (𝑥) 𝑔 (𝑡)

. À quelles équations différentielles les deux fonctions

𝑓

𝑔

obéissent-elles ?

Coup de pouce 1

Introduire la forme proposée dans l’équation d’onde et séparer les variables.

Corrigé

En remplaçant $𝑦$ par $𝑓 (𝑥) 𝑔 (𝑡)$ dans l’équation d’onde, on trouve

𝑓^{″} (𝑥) 𝑔 (𝑡) - \frac{1}{𝑐^{2}} 𝑓 (𝑥) 𝑔^{″} (𝑡) - 𝑎 𝑓 (𝑥) 𝑔^{'} (𝑡) = 0

En divisant par $𝑓 (𝑥) 𝑔 (𝑡)$ , on trouve

\frac{𝑓^{″} (𝑥)}{𝑓 (𝑥)} = \frac{1}{𝑐^{2}} \frac{𝑔^{″} (𝑡)}{𝑔 (𝑡)} + 𝑎 \frac{𝑔^{'} (𝑡)}{𝑔 (𝑡)}

Le membre de gauche ne dépend que de $𝑥$ , tandis que le membre de droite ne dépend que de $𝑡$ . Ils sont donc égaux à une même constante, que l’on note $𝐾$ . On trouve ainsi les deux équations différentielles suivantes :

{\begin{cases} 𝑓^{″} (𝑥) - 𝐾 𝑓 (𝑥) = 0 \\ 𝑔^{″} (𝑡) + 𝑎 𝑐^{2} 𝑔^{'} (𝑡) - 𝑐^{2} 𝐾 𝑔 (𝑡) = 0 \end{cases}

3/ Quelles sont les familles de solutions de l’équation sur

𝑓

. On répondra en distinguant 3 cas sur la valeur de

𝐾

. Parmi ces familles, laquelle admet des solutions non nulles compatibles avec les conditions aux limites ?

Coup de pouce 1

L’équation différentielle sur

𝑓

possède trois familles de solution. Parmi ces familles, quelle est la seule qui admet des solutions non nulles compatibles avec les conditions aux limites ?

Corrigé

Si $𝐾 > 0$ , les solutions sont de la forme $𝑓 (𝑥) = 𝐴 exp (\sqrt{𝐾} 𝑥) + 𝐵 exp (- \sqrt{𝐾} 𝑥)$ .

Les conditions aux limites $𝑓 (0) = 𝑓 (𝐿) = 0$ impliquent $𝐴 + 𝐵 = 0$ et $𝐴 exp (\sqrt{𝐾} 𝐿) + 𝐵 exp (- \sqrt{𝐾} 𝐿) = 0$ , d’où $𝐴 = 0$ et $𝐵 = 0$ . On a donc une solution nulle $𝑓 (𝑥) = 0$ .

Si $𝐾 = 0$ , les solutions sont de la forme $𝑓 (𝑥) = 𝐴 𝑥 + 𝐵$ .

Les conditions aux limites $𝑓 (0) = 𝑓 (𝐿) = 0$ impliquent $𝐵 = 0$ et $𝐴 𝐿 + 𝐵 = 0$ , d’où $𝐴 = 0$ . On a donc une solution nulle $𝑓 (𝑥) = 0$ .

Si $𝐾 < 0$ , les solutions sont de la forme $𝑓 (𝑥) = 𝐴 sin (\sqrt{- 𝐾} 𝑥) + 𝐵 cos (\sqrt{- 𝐾} 𝑥)$ .

Les conditions aux limites $𝑓 (0) = 𝑓 (𝐿) = 0$ impliquent $𝐵 = 0$ et $𝐴 sin (\sqrt{- 𝐾} 𝐿) = 0$ , d’où $\sqrt{- 𝐾} 𝐿 = 𝑛 𝜋$ avec $𝑛 \in ℕ^{*}$ .

4/ Résoudre l’équation sur

𝑔

. On se placera dans le cas de frottements faibles, et on précisera explicitement l’inégalité qu’implique cette hypothèse. On ne cherchera pas à expliciter les constantes.

Coup de pouce 1

Compte tenu de l’hypothèse de frottements faibles, quel est le signe du discriminant de l’équation différentielle sur

𝑔

Corrigé

Le discriminant de l’équation sur $𝑔$ est $Δ = 𝑎^{2} 𝑐^{4} + 4 𝑐^{2} 𝐾$ . L’hypothèse de frottements faibles implique que les solutions sont proches de celles du cas sans frottement, c’est-à-dire que $𝑎$ est petit devant les autres termes de l’équation. En particulier, on doit avoir $𝑎^{2} 𝑐^{4} ≪ 4 𝑐^{2} | 𝐾 |$ , ce qui implique que $Δ \approx 4 𝑐^{2} 𝐾 < 0$

Les racines du polynôme caractéristique sont $𝑟_{1, 2} = \frac{- 𝑎 𝑐^{2} \pm 𝑗 \sqrt{- 4 𝑐^{2} 𝐾}}{2} = - 𝑎 \frac{𝑐^{2}}{2} \pm 𝑗 \sqrt{- 𝑐^{2} 𝐾}$

Les solutions de l’équation sur $𝑔$ sont alors de la forme

𝑔 (𝑡) = exp (- \frac{𝑎 𝑐^{2}}{2} 𝑡) (𝐶 cos (\sqrt{- 𝑐^{2} 𝐾} 𝑡) + 𝐷 sin (\sqrt{- 𝑐^{2} 𝐾} 𝑡))

5/ En déduire la durée caractéristique d’amortissement des oscillations. Que devient l’énergie initialement contenue dans la vibration de la corde ?