Câble coaxial et pertes résistives

Les pertes dans un câble coaxial sont prises en compte en considérant la résistance linéique 𝑟 du conducteur et la conductance linéique 𝑔 de l’isolant séparant l’âme et la gaine. Le modèle à constantes réparties correspondant est représenté sur le schéma ci-dessous correspondant à une portion de câble de longueur d𝑥.

1/ Établir une relation entre 𝑢(𝑥,𝑡), 𝑖(𝑥,𝑡) faisant intervenir Γ et 𝑔.

Coup de pouce 1
Appliquer la loi des nœuds.
Corrigé

La loi des nœuds s’écrit

𝑖(𝑥,𝑡)=𝑖(𝑥+d𝑥,𝑡)+𝑔d𝑥𝑢+Γd𝑥𝜕𝑢𝜕𝑡

En utilisant la relation de Taylor, on obtient

𝜕𝑖𝜕𝑥=−𝑔𝑢−Γ𝜕𝑢𝜕𝑡

2/ Établir une relation entre 𝑢(𝑥,𝑡), 𝑖(𝑥,𝑡) faisant intervenir Λ et 𝑟.

Coup de pouce 1
Appliquer la loi des mailles.
Corrigé

La loi des mailles s’écrit

𝑢(𝑥,𝑡)−𝑟d𝑥𝑖−Λd𝑥𝜕𝑖𝜕𝑡−𝑢(𝑥+d𝑥,𝑡)=0

En utilisant la relation de Taylor, on obtient

𝜕𝑢𝜕𝑥=−𝑟𝑖−Λ𝜕𝑖𝜕𝑡

3/ En déduire que 𝑢(𝑥,𝑡) satisfait à l’équation dite des télégraphistes

𝜕2𝑢𝜕𝑥2−𝛼𝜕2𝑢𝜕𝑡2−𝛽𝜕𝑢𝜕𝑡−𝜇𝑢(𝑥,𝑡)=0

Préciser l’expression de 𝛼, 𝛽, et 𝜇 en fonction des paramètres de l’énoncé. On admet que 𝑖 obéit à la même équation.

Coup de pouce 1
Il faut combiner les équations des question précédentes.
Coup de pouce 2
Dériver l’équation de la question 1 par rapport à 𝑡 et celle de la question 2 par rapport à 𝑥. Appliquer le théorème de Schwarz.
Corrigé

Si on dérive l’équation de la question 1 par rapport à 𝑡 et celle de la question 2 par rapport à 𝑥, on obtient

{𝜕2𝑖𝜕𝑡𝜕𝑥=−𝑔𝜕𝑢𝜕𝑡−Γ𝜕2𝑢𝜕𝑡2𝜕2𝑢𝜕𝑥2=−𝑟𝜕𝑖𝜕𝑥−Λ𝜕2𝑖𝜕𝑥𝜕𝑡

Or, d’après le théorème de Schwarz, 𝜕2𝑖𝜕𝑡𝜕𝑥=𝜕2𝑖𝜕𝑥𝜕𝑡, d’où

𝜕2𝑢𝜕𝑥2=−𝑟(−𝑔𝑢−Γ𝜕𝑢𝜕𝑡)−Λ(−𝑔𝜕𝑢𝜕𝑡−Γ𝜕2𝑢𝜕𝑡2)=ΛΓ𝜕2𝑢𝜕𝑡2+(𝑟Γ+𝑔Λ)𝜕𝑢𝜕𝑡+𝑟𝑔𝑢

soit

𝜕2𝑢𝜕𝑥2−ΛΓ𝜕2𝑢𝜕𝑡2−(𝑟Γ+𝑔Λ)𝜕𝑢𝜕𝑡−𝑟𝑔𝑢=0

On trouve ainsi 𝛼=ΛΓ, 𝛽=𝑟Γ+𝑔Λ et 𝜇=𝑟𝑔.

4/ On considère une onde qui se propage dans le sens de 𝑥 croissants : 𝑢+(𝑥,𝑡)=𝑢0+𝑒𝑗(𝜔𝑡−𝑘𝑥). Établir l’équation de dispersion.

Coup de pouce 1
Passer en complexe l’équation d’onde de la question précédente.
Corrigé

En injectant l’OPPH dans l’équation des télégraphistes, on trouve que 𝑘 doit vérifier l’équation de dispersion suivante :

−𝑘2+𝛼𝜔2−𝑗𝛽𝜔−𝜇=0

Soit

𝑘2=𝛼𝜔2−𝑗𝛽𝜔−𝜇

5/ On pose 𝑘=𝑘′+𝑗𝑘″. Qu’implique le fait que 𝑘 soit complexe ?

Corrigé
La partie imaginaire de 𝑘 entraine une décroissance exponentielle de l’amplitude de l’onde au cours de la propagation, ce qui correspond à des pertes résistives dans le câble coaxial.

6/ On suppose les pertes faibles et donc la profondeur de peau très grande devant la longueur d’onde. Résoudre l’équation de dispersion dans ce cas et exprimer 𝑘′ et 𝑘″ en fonction de 𝛼, 𝛽, 𝜇 et 𝜔.

Coup de pouce 1
Dans l’hypothèse de l’énoncé, que peut-on dire sur 𝑘′ et 𝑘″ ?
Coup de pouce 2
Développer 𝑘2=(𝑘′+𝑗𝑘″)2. Quel terme peut être négligé dans l’hypothèse de l’énoncé ?
Corrigé

Si la profondeur de peau 𝛿=1𝑘″ est très grande devant la longueur d’onde 𝜆=2𝜋𝑘′, alors 𝑘″ est très petit devant 𝑘′.

𝑘2=(𝑘′+𝑗𝑘″)2=𝑘′2+2𝑗𝑘′𝑘″−𝑘″2≈𝑘′2+2𝑗𝑘′𝑘″

On peut alors identifier

{𝑘′2=𝛼𝜔2−𝜇2𝑘′𝑘″=−𝛽𝜔

d’où

{𝑘′=𝛼𝜔2−𝜇𝑘″=−𝛽𝜔2𝑘′=−𝛽𝜔2𝛼𝜔2−𝜇

7/ Exprimer la vitesse de phase et la vitesse de groupe en fonction de 𝜔 et des constantes 𝛼, 𝛽, et 𝜇. Le milieu est-il dispersif ?

Corrigé

La vitesse de phase est donnée par 𝑣𝜑=𝜔𝑘′=𝜔𝛼𝜔2−𝜇

La vitesse de phase dépend de la pulsation 𝜔, ce qui signifie que le milieu est dispersif.

La vitesse de groupe est donnée par

𝑣𝑔=d𝜔d𝑘′=1d𝑘′d𝜔=12𝛼𝜔2𝛼𝜔2−𝜇=𝛼𝜔2−𝜇𝛼𝜔