Modes propres dans une cavité sphérique — Physique des ondes 1 : Phénomènes de propagation non dispersifs : équation de d'Alembert

Un gaz de masse volumique

𝜌_{0}

est enfermé dans une sphère rigide de rayon

𝑅

. Une onde sonore sphérique s’y propage, décrite par la surpression

𝑃_{1} (𝑟, 𝑡)

et la vitesse

𝑣 (𝑟, 𝑡) {\vec{𝑒}}_{𝑟}

. On se place dans le cas

Coup de pouce 1

Pour chaque terme : stationnaire ou progressif ? harmonique ? sphérique, cylindrique ou plan ?

Corrigé

Premier terme : onde sphérique progressive harmonique divergente (elle se propage vers les $𝑟$ croissants), d’amplitude $\propto 1 / 𝑟$ (atténuation géométrique).
Second terme : onde sphérique progressive harmonique convergente (elle se propage vers les $𝑟$ décroissants), également atténuée en $1 / 𝑟$ .

Coup de pouce 1

Les ondes ne sont pas des OPPH : on ne peut pas utiliser l’impédance acoustique.

Coup de pouce 2

Utiliser l’équation d’Euler linéarisée.

Corrigé

Équation d’Euler : $𝜌_{0} \frac{𝜕 𝑣}{𝜕 𝑡} = - \frac{𝜕 𝑃_{1}}{𝜕 𝑟}$ , soit $𝑗 𝜌_{0} 𝜔 𝑣 = - \frac{𝜕 𝑃_{1}}{𝜕 𝑟}$ pour une dépendance temporelle en $𝑒^{𝑗 𝜔 𝑡}$ .

Pour le premier terme ( $𝜔_{1}$ , $𝑘_{1}$ ) : $\frac{𝜕}{𝜕 𝑟} (\frac{𝐴}{𝑟} 𝑒^{- 𝑗 𝑘_{1} 𝑟}) = - \frac{𝐴}{𝑟^{2}} (1 + 𝑗 𝑘_{1} 𝑟) 𝑒^{- 𝑗 𝑘_{1} 𝑟}$ , d’où

𝑣_{1} = \frac{𝐴}{𝑗 𝜌_{0} 𝜔_{1} 𝑟^{2}} (1 + 𝑗 𝑘_{1} 𝑟) 𝑒^{𝑗 (𝜔_{1} 𝑡 - 𝑘_{1} 𝑟)}

Pour le second terme ( $𝜔_{2}$ , $𝑘_{2}$ ) : $\frac{𝜕}{𝜕 𝑟} (\frac{𝐵}{𝑟} 𝑒^{𝑗 𝑘_{2} 𝑟}) = \frac{𝐵}{𝑟^{2}} (- 1 + 𝑗 𝑘_{2} 𝑟) 𝑒^{𝑗 𝑘_{2} 𝑟}$ , d’où

𝑣_{2} = \frac{𝐵}{𝑗 𝜌_{0} 𝜔_{2} 𝑟^{2}} (1 - 𝑗 𝑘_{2} 𝑟) 𝑒^{𝑗 (𝜔_{2} 𝑡 + 𝑘_{2} 𝑟)}

et $𝑣 = 𝑣_{1} + 𝑣_{2}$ .

3/ Établir le lien entre

𝜔_{1}

𝜔_{2}

, puis entre

𝐴

𝐵

. En déduire

𝑣

Coup de pouce 1

Écrire la condition d’impénétrabilité en

𝑟 = 𝑅

pour tout

𝑡

Corrigé

La condition d’impénétrabilité sur la paroi rigide impose $𝑣 (𝑅, 𝑡) = 0$ pour tout $𝑡$ . Deux termes de pulsations différentes ne peuvent se compenser à tout instant : nécessairement $𝜔_{1} = 𝜔_{2} \equiv 𝜔$ , donc $𝑘_{1} = 𝑘_{2} \equiv 𝑘 = 𝜔 / 𝑐$ .

La condition $𝑣_{1} (𝑅) + 𝑣_{2} (𝑅) = 0$ s’écrit alors

𝐴 (1 + 𝑗 𝑘 𝑅) 𝑒^{- 𝑗 𝑘 𝑅} = 𝐵 (- 1 + 𝑗 𝑘 𝑅) 𝑒^{𝑗 𝑘 𝑅}

soit

\frac{𝐵}{𝐴} = \frac{1 + 𝑗 𝑘 𝑅}{𝑗 𝑘 𝑅 - 1} 𝑒^{- 2 𝑗 𝑘 𝑅}

4/ En supposant que la surpression ne diverge pas en

𝑟 = 0

, montrer que

𝑘

vérifie une équation transcendante, et expliquer comment déterminer graphiquement les valeurs de

𝑘

possibles.

Coup de pouce 1

Pour que

𝑃_{1}

reste finie en

0

, relier simplement

𝐴

𝐵

Coup de pouce 2

Reporter dans la relation précédente et prendre l’argument.

Corrigé

Près de $𝑟 = 0$ , $𝑃_{1} \approx \frac{𝐴 𝑒^{- 𝑗 𝑘 𝑟} + 𝐵 𝑒^{𝑗 𝑘 𝑟}}{𝑟} 𝑒^{𝑗 𝜔 𝑡}$ . Pour que $𝑃_{1}$ reste finie, il faut $𝐴 + 𝐵 = 0$ , soit $𝐵 = - 𝐴$ . La surpression devient

𝑃_{1} (𝑟, 𝑡) = - 2 𝑗 𝐴 \frac{sin (𝑘 𝑟)}{𝑟} 𝑒^{𝑗 𝜔 𝑡}

(bien finie en $0$ , puisque $sin (𝑘 𝑟) / 𝑟 \to 𝑘$ ).

En reportant $𝐵 = - 𝐴$ dans la relation du 3, ou plus directement en réinjectant $𝑃_{1}$ dans l’équation d’Euler puis la condition $𝑣 (𝑅, 𝑡) = 0$ , on obtient

𝑣 (𝑅, 𝑡) \propto 𝑘 𝑅 cos (𝑘 𝑅) - sin (𝑘 𝑅) = 0 \Leftrightarrow tan (𝑘 𝑅) = 𝑘 𝑅

Graphiquement, on trace $𝑦 = tan (𝑘 𝑅)$ et $𝑦 = 𝑘 𝑅$ en fonction de $𝑘 𝑅$ : les abscisses des intersections donnent les valeurs $𝑘_{𝑛}$ autorisées, donc les pulsations propres $𝜔_{𝑛} = 𝑐 𝑘_{𝑛}$ . (En regroupant les exponentielles et en prenant l’argument, cette condition s’écrit aussi $2 𝑘 𝑅 \equiv arctan (\frac{2 𝑘 𝑅}{1 - 𝑘^{2} 𝑅^{2}}) [2 𝜋]$ .)

Modes propres dans une cavité sphérique ★★★