Modèle d'une clarinette — Physique des ondes 1 : Phénomènes de propagation non dispersifs : équation de d'Alembert

Une clarinette est modélisée par un tuyau de section

𝑆

et de longueur

𝑙

contenant un fluide où la célérité du son est

𝑐

. L’extrémité

𝑥 = 0

est fermée (paroi rigide) ; l’extrémité

𝑥 = 𝑙

est ouverte sur l’atmosphère, qui y impose la pression

𝑃_{0}

. Au repos, la pression vaut

𝑃_{0}

et la masse volumique

𝜌_{0}

; la pesanteur est négligée et on se place dans l’approximation acoustique.

Le musicien injecte une onde sonore plane : il s’établit une onde stationnaire de surpression

𝑃_{1} (𝑥, 𝑡) = 𝐴_{0} cos (𝜔 𝑡) cos (𝑘 𝑥)

Coup de pouce 1

Le milieu est-il fini, semi-infini ou infini ? Quelle forme de solution y privilégie-t-on ?

Corrigé

Le tuyau est un milieu fini (deux bords, deux conditions aux limites). Dans un milieu fini, on privilégie les solutions stationnaires : superposition d’une onde incidente et d’une onde réfléchie qui satisfont les conditions aux limites.

2/ Établir le champ de vitesse dans la clarinette. A-t-on

𝑃_{1} (𝑥, 𝑡) = 𝑍 𝑣 (𝑥, 𝑡)

avec

𝑍 = 𝜌_{0} 𝑐

Coup de pouce 1

Écrire l’équation d’Euler linéarisée reliant surpression et vitesse.

Corrigé

Équation d’Euler linéarisée : $𝜌_{0} \frac{𝜕 𝑣}{𝜕 𝑡} = - \frac{𝜕 𝑃_{1}}{𝜕 𝑥} = 𝐴_{0} 𝑘 cos (𝜔 𝑡) sin (𝑘 𝑥)$ . En intégrant (constante nulle) :

𝑣 (𝑥, 𝑡) = \frac{𝐴_{0} 𝑘}{𝜌_{0} 𝜔} sin (𝜔 𝑡) sin (𝑘 𝑥) = \frac{𝐴_{0}}{𝜌_{0} 𝑐} sin (𝜔 𝑡) sin (𝑘 𝑥)

On compare : $𝑃_{1} = 𝐴_{0} cos (𝜔 𝑡) cos (𝑘 𝑥)$ tandis que $𝑍 𝑣 = 𝜌_{0} 𝑐 \cdot \frac{𝐴_{0}}{𝜌_{0} 𝑐} sin (𝜔 𝑡) sin (𝑘 𝑥) = 𝐴_{0} sin (𝜔 𝑡) sin (𝑘 𝑥)$ . Les deux ne sont pas égaux (déphasage de $𝜋 / 2$ en temps et en espace) : la relation $𝑃_{1} = 𝑍 𝑣$ n’est valable que pour une onde progressive, pas pour une onde stationnaire.

Coup de pouce 1

Attention :

𝑃_{1}

désigne la surpression, pas la pression.

Coup de pouce 2

Condition d’impénétrabilité en

𝑥 = 0

, continuité de la pression en

𝑥 = 𝑙

Corrigé

En $𝑥 = 0$ (paroi rigide) : condition d’impénétrabilité, $𝑣 (0, 𝑡) = 0$ pour tout $𝑡$ . Avec l’expression trouvée, $𝑣 (0, 𝑡) = 0$ est automatiquement vérifié : c’est un nœud de vitesse (et un ventre de surpression).
En $𝑥 = 𝑙$ (ouverture) : la pression y est égale à la pression atmosphérique, donc la surpression est nulle, $𝑃_{1} (𝑙, 𝑡) = 0$ pour tout $𝑡$ .

Coup de pouce 1

Quelles valeurs de

𝑘

satisfont

𝑃_{1} (𝑙, 𝑡) = 0

Coup de pouce 2

Relier

𝑘

𝜔

par la relation de dispersion.

Corrigé

$𝑃_{1} (𝑙, 𝑡) = 𝐴_{0} cos (𝜔 𝑡) cos (𝑘 𝑙) = 0$ pour tout $𝑡$ impose $cos (𝑘 𝑙) = 0$ , soit $𝑘 𝑙 = \frac{𝜋}{2} + 𝑛 𝜋$ , $𝑛 \in ℕ$ . La relation de dispersion $𝜔 = 𝑐 𝑘$ donne alors

𝜔_{𝑛} = (2 𝑛 + 1) \frac{𝜋 𝑐}{2 𝑙}, 𝑛 \in ℕ

La clarinette ne produit que les harmoniques impairs de sa fondamentale.

5/ La fondamentale d’une flûte de longueur

𝑙

est

𝜔_{𝑓} = 𝜋 𝑐 / 𝑙

. Comparer la hauteur du son d’une flûte et d’une clarinette de même longueur.

Coup de pouce 1

La fondamentale correspond à

𝑛 = 0

Corrigé

Pour la clarinette, la fondamentale (

𝑛 = 0

) est

𝜔_{𝑐} = 𝜋 𝑐 / (2 𝑙) = 𝜔_{𝑓} / 2

. À longueur égale, la clarinette (fermée–ouverte) sonne une octave plus bas que la flûte (ouverte–ouverte).

Modèle d’une clarinette ★