Physique des ondes 1
Phénomènes de propagation non dispersifs : équation de d’Alembert

Résumé du cours

1. Différents phénomènes régis par la même équation

1.1. Onde dans une corde

https://www.youtube.com/watch?v=jV1Tp_tM2Ts&t=37s

Une corde peut être le siège d’ondes transversales. C’est un milieu unidimensionnel : une seule direction de propagation est possible.

Schéma 1 – Corde
Point clé 1 – Équation de propagation dans une corde ♥︎✍

Hypothèses :

  • La corde est infiniment flexible et inextensible.
  • Les déplacements sont faibles et transverses.
  • Les effets de la gravité sont négligés.
  • Les frottements sont négligés.
𝜕2𝑦𝜕𝑥2−1𝑐2𝜕2𝑦𝜕𝑡2=0avec𝑐=𝑇𝜇
avec 𝑦(𝑥,𝑡) l’écart à l’équilibre à l’abscisse 𝑥 et à l’instant 𝑡 (m) ; 𝑐 la célérité de l’onde (m s−1) ; 𝑇 la tension de la corde (N) ; 𝜇 la masse linéique de la corde (kg m−1).

Cette équation aux dérivées partielles s’appelle équation de d’Alembert.

1.2. Ondes dans un câble coaxial

Un câble coaxial est constitué de deux conducteurs concentriques (l’âme et la gaine) séparés par un isolant ; c’est un milieu unidimensionnel.

Fig. 1. – Photographie d’un câble coaxial.
Schéma 2 – Câble coaxial
Exemple 1
Les câbles d’antenne (satellite, TNT, wifi…) sont souvent des câbles coaxiaux.

Les câbles coaxiaux étant parfois longs, les conditions de l’ARQS ne sont pas toujours remplies : des ondes de tension et de courant peuvent s’y propager.

Dans le modèle à constantes réparties sans pertes, on étudie une portion mésoscopique de câble caractérisée par son inductance linéique et sa capacité linéique ; le conducteur a une résistance nulle et l’isolant une conductance nulle.

Schéma 3 – Portion mésoscopique de câble dans le modèle à constantes réparties
Point clé 2 – Équation de propagation dans un câble coaxial ♥︎✍

Hypothèse : Dans le modèle à constantes réparties sans pertes.

{𝜕2𝑢𝜕𝑥2−1𝑐2𝜕2𝑢𝜕𝑡2=0𝜕2𝑖𝜕𝑥2−1𝑐2𝜕2𝑖𝜕𝑡2=0avec𝑐=1ΛΓ
avec 𝑢(𝑥,𝑡) la tension à l’abscisse 𝑥 et à l’instant 𝑡 (V) ; 𝑖(𝑥,𝑡) l’intensité du courant à l’abscisse 𝑥 et à l’instant 𝑡 (A) ; 𝑐 la célérité de l’onde (m s−1) ; Λ l’inductance linéique du câble (H m−1) ; Γ la capacité linéique du câble (F m−1).
Application 1 ✍
Calculer la vitesse de propagation d’une onde dans un câble coaxial de capacité linéique 40 pF m−1 et d’inductance linéique 0,4 µH m−1.

1.3. Ondes sonores

1.3.1. Le son

Le son est une onde longitudinale de compression dans un fluide ; il se propage dans un milieu tridimensionnel. Lors du passage de l’onde, la pression et la vitesse des particules de fluide oscillent.

Schéma 4 – Domaines fréquentiels des ondes sonores
1.3.2. Approximation acoustique
Point clé 3 – Approximation acoustique ♥︎

Hypothèse : Le fluide est macroscopiquement au repos.

𝑃(𝑀,𝑡)=𝑃0+𝑃1(𝑀,𝑡)avec|𝑃1|≪𝑃0𝜌(𝑀,𝑡)=𝜌0+𝜌1(𝑀,𝑡)avec|𝜌1|≪𝜌0𝑣⃗(𝑀,𝑡)=0⃗+𝑣⃗1(𝑀,𝑡)avec‖𝑣⃗1‖≪𝑐
avec 𝑃(𝑀,𝑡) la pression (Pa) ; 𝑃0 la pression ambiante (en l’absence d’onde) (Pa) ; 𝑃1(𝑀,𝑡) la surpression causée par l’onde (Pa) ; 𝜌0 la masse volumique ambiante du fluide (kg m−3) ; 𝜌1 la sur-masse volumique causée par l’onde (kg m−3) ; 𝑣⃗1 la vitesse du fluide (m s−1) ; 𝑐 la célérité de l’onde (m s−1).
1.3.3. Équation de propagation

Trois équations couplées permettent d’obtenir l’équation de propagation des ondes sonores.

Point clé 4 – Conservation de la masse (linéarisée) ✍

Hypothèses :

  • Dans l’approximation acoustique.
  • Le fluide est macroscopiquement au repos.
𝜕𝜌1𝜕𝑡=−𝜌0div 𝑣⃗1
avec 𝜌0 la masse volumique ambiante du fluide (kg m−3) ; 𝜌1 la sur-masse volumique causée par l’onde (kg m−3) ; 𝑣⃗1 la vitesse du fluide (m s−1).
Point clé 5 – Équation thermodynamique (linéarisée) ✍

Hypothèses :

  • Dans l’approximation acoustique.
  • Le fluide est macroscopiquement au repos.
  • L’évolution est adiabatique réversible.
𝜌1=𝜒𝑆𝜌0𝑃1avec𝜒𝑆=1𝜌0(𝜕𝜌𝜕𝑃)𝑆
avec 𝜌1 la sur-masse volumique causée par l’onde (kg m−3) ; 𝜌0 la masse volumique ambiante du fluide (kg m−3) ; 𝑃1(𝑀,𝑡) la surpression causée par l’onde (Pa) ; 𝜒𝑆 le coefficient de compressibilité isentropique (Pa−1).
Point clé 6 – Équation de la dynamique (linéarisée, équation d’Euler) ✍

Hypothèses :

  • En l’absence de viscosité.
  • Dans l’approximation acoustique.
  • Le fluide est macroscopiquement au repos.
  • L’action de la gravité est négligée.
𝜌0𝜕𝑣⃗1𝜕𝑡=−grad⃗𝑃1
avec 𝜌0 la masse volumique ambiante du fluide (kg m−3) ; 𝑣⃗1 la vitesse du fluide (m s−1) ; 𝑃1(𝑀,𝑡) la surpression causée par l’onde (Pa).
Point clé 7 – Équation de propagation de la surpression ♥︎✍

Hypothèses :

  • Dans l’approximation acoustique.
  • Le fluide est macroscopiquement au repos.
  • L’évolution est adiabatique réversible.
Δ𝑃1−1𝑐2𝜕2𝑃1𝜕𝑡2=0avec𝑐=1𝜌0𝜒𝑆
avec 𝑃1(𝑀,𝑡) la surpression causée par l’onde (Pa) ; 𝑐 la célérité de l’onde (m s−1) ; 𝜌0 la masse volumique ambiante du fluide (kg m−3) ; 𝜒𝑆 le coefficient de compressibilité isentropique (Pa−1).

La surpression vérifie une équation de d’Alembert. On admet que la vitesse vérifie une équation de d’Alembert analogue.

1.3.4. Célérité
Point clé 8 – Célérité d’une onde sonore dans un gaz parfait ♥︎✍

Hypothèses :

  • Dans l’approximation acoustique.
  • Le fluide est macroscopiquement au repos.
  • L’évolution est adiabatique réversible.
  • Le gaz est parfait.
𝑐=𝛾𝑅𝑇𝑀
avec 𝑐 la célérité de l’onde (m s−1) ; 𝛾 le rapport des capacités thermiques du gaz (sans unité) ; 𝑅 la constante des gaz parfaits (J K−1 ⁠mol−1) ; 𝑇 la température (K) ; 𝑀 la masse molaire du gaz (kg mol−1).
Application 2 ✍
Déterminer la célérité d’une onde sonore dans l’air, considéré comme un gaz parfait diatomique, à la température de référence. L’air est constitué de 80 % de diazote (𝑀(𝑁)=14 g mol−1) et de 20 % de dioxygène (𝑀(𝑂)=16 g mol−1).

La célérité d’une onde sonore dans l’eau est environ 𝑐eau=1400 m s−1.

1.4. Ondes électromagnétiques dans le vide

Les ondes électromagnétiques sont la variation couplée des champs électrique et magnétique ; elles se propagent dans le vide ou dans un milieu.

1.4.1. Spectre électromagnétique

Ondes radio, lumière visible et invisible, rayons X et 𝛾 sont des ondes électromagnétiques.

1.4.2. Équation de propagation
Point clé 9 – Équation de propagation d’une onde électromagnétique ♥︎✍

Hypothèse : Dans le vide.

Δ𝐸⃗−1𝑐2𝜕2𝐸⃗𝜕𝑡2=0⃗etΔ𝐵⃗−1𝑐2𝜕2𝐵⃗𝜕𝑡2=0⃗

avec 𝑐=1/𝜀0𝜇0.

avec 𝐸⃗ le champ électrique (V m−1) ; 𝐵⃗ le champ magnétique (T) ; 𝑐 la célérité de l’onde (m s−1) ; 𝜇0 la perméabilité magnétique du vide (H m−1) ; 𝜀0 la permittivité diélectrique du vide (F m−1).
Application 3 ✍
Vérifier l’homogénéité de l’expression 𝑐=1/𝜇0𝜀0.

2. Solutions de l’équation de d’Alembert

2.1. Ondes progressives

Dans un milieu unidimensionnel, une onde progressive est une fonction de 𝑥−𝑐𝑡 (propagation vers les 𝑥 croissants) ou de 𝑥+𝑐𝑡 (propagation vers les 𝑥 décroissants).

Exemple 2
𝐴cos(𝑘(𝑥+𝑐𝑡)), 𝐵sin(𝜔𝑡−𝜔𝑐𝑥), 𝐶exp(−𝑥−𝑐𝑡𝜆) sont des ondes progressives.

Une onde est solution de l’équation de d’Alembert 1D si et seulement si c’est une somme de deux ondes progressives de sens opposés.

Application 4 ✍
Montrer qu’une superposition d’ondes progressives est solution de l’équation de d’Alembert.

2.2. Forme des surfaces d’onde

Une surface d’onde est une surface sur laquelle la phase de l’onde est constante ; à 𝑡 fixé, l’onde y prend la même valeur en tout point.

Application 5 ✍
Dire si les ondes suivantes sont planes, cylindriques ou sphériques : 𝑃1=𝐴cos(𝜔𝑡−𝑘𝑥) ; 𝐸⃗=𝐵sin(𝜔𝑡−𝑘𝑦)𝑒⃗𝑥 ; 𝑃1=𝐶𝑓(𝜔𝑡+𝑘𝑥2+𝑦2) ; 𝑃1=𝐷cos(𝜔𝑡+𝑘⃗⋅𝑂𝑀⃗) ; 𝑃1=𝐸cos(𝜔𝑡−𝑘‖𝑂𝑀⃗‖).

2.3. Notion de polarisation

Pour une onde transversale, la direction de la grandeur est orthogonale à la direction de propagation. Pour une onde polarisée rectilignement, cette direction reste constante au cours du temps.

Exemple 3
𝐸⃗=𝐸0cos(𝜔𝑡−𝑘𝑥)𝑒⃗𝑧 est une onde polarisée rectilignement.

Un polariseur est un dispositif permettant de sélectionner une direction de polarisation.

2.4. Ondes (planes) progressives harmoniques

Une onde (plane) progressive harmonique (OP(P)H) est une onde progressive dont la dépendance en 𝑥−𝑐𝑡 est sinusoïdale.

Point clé 10 – Onde (plane) progressive harmonique ♥︎
𝑦(𝑀,𝑡)=𝑦0cos(𝜔𝑡−𝑘⃗⋅𝑂𝑀⃗+𝜑)
avec 𝑦0 l’amplitude de l’onde ; 𝜔 =2𝜋/𝑇 la pulsation (rad s−1) ; 𝑘⃗ =(2𝜋/𝜆)𝑛⃗ le vecteur d’onde (rad m−1) ; 𝜆 la longueur d’onde (m) ; 𝑛⃗ un vecteur unitaire dans la direction de propagation ; 𝜑 la phase à l’origine (rad).

En 1D : 𝑦(𝑀,𝑡)=𝑦0cos(𝜔𝑡±𝑘𝑥+𝜑) (le signe + correspond à une onde vers les 𝑥 décroissants, − vers les 𝑥 croissants). 𝑘 est le nombre d’onde.

On associe à l’OPH 𝑦=𝑦0cos(𝜔𝑡−𝑘⃗⋅𝑂𝑀⃗+𝜑) la grandeur complexe 𝑦=𝑦0𝑒𝑗(𝜔𝑡−𝑘⃗⋅𝑂𝑀⃗+𝜑).

Point clé 11 – Dérivées pour une OP(P)H ♥︎✍

Hypothèse : 𝑦 et 𝐴⃗ sont les représentations complexes d’OP(P)H quelconques.

𝜕𝑦𝜕𝑡=𝑗𝜔𝑦div 𝐴⃗=−𝑗𝑘⃗⋅𝐴⃗grad⃗𝑦=−𝑗𝑘⃗𝑦rot⃗𝐴⃗=−𝑗𝑘⃗∧𝐴⃗Δ𝑦=−𝑘2𝑦Δ𝐴⃗=−𝑘2𝐴⃗
avec 𝑦 la représentation complexe d’une OPH quelconque ; 𝐴⃗ la représentation complexe d’un champ d’OPH quelconque ; 𝜔 =2𝜋/𝑇 la pulsation (rad s−1) ; 𝑘⃗ =(2𝜋/𝜆)𝑛⃗ le vecteur d’onde (rad m−1) ; 𝑘 le nombre d’onde (rad m−1).

Les dérivées spatiales se résument par ∇→−𝑗𝑘⃗.

2.4.1. Caractère longitudinal des ondes sonores
Point clé 12 – Caractère longitudinal d’une onde sonore ♥︎✍
Hypothèses :
  • Dans l’approximation acoustique.
  • Le fluide est macroscopiquement au repos.
  • L’évolution est adiabatique réversible.
Les ondes sonores sont longitudinales : la vitesse du fluide est colinéaire à la direction de propagation.
2.4.2. Relation de dispersion
Point clé 13 – Relation de dispersion (équation de d’Alembert) ♥︎✍

Hypothèses :

  • L’onde vérifie l’équation de d’Alembert.
  • L’onde est une O(P)PH.
𝜔2𝑘2=𝑐2
avec 𝜔 =2𝜋/𝑇 la pulsation (rad s−1) ; 𝑘⃗ =(2𝜋/𝜆)𝑛⃗ le vecteur d’onde (rad m−1) ; 𝑐 la célérité de l’onde (m s−1).
2.4.3. Vitesse de phase

La vitesse de phase est la vitesse à laquelle se propage un plan de phase constante.

Point clé 14 – Vitesse de phase ♥︎✍

Hypothèse : L’onde est une OPH s’écrivant 𝑦=𝑦0cos(𝜔𝑡−𝑘𝑥).

𝑣𝜑=𝜔𝑘
avec 𝑣𝜑 la vitesse de phase (m s−1) ; 𝜔 =2𝜋/𝑇 la pulsation (rad s−1) ; 𝑘 le nombre d’onde (rad m−1).
Point clé 15 – Vitesse de phase pour une OPH de d’Alembert ♥︎✍

Hypothèses :

  • L’onde est une OPH.
  • L’onde vérifie l’équation de d’Alembert.
𝑣𝜑=±𝑐
avec 𝑣𝜑 la vitesse de phase (m s−1) ; 𝑐 la célérité de l’onde (m s−1).
2.4.4. Superposition d’OPH

L’équation de d’Alembert étant linéaire, toute combinaison linéaire de solutions est solution. Toute onde périodique se décompose en série de Fourier d’OPH, toute onde en intégrale de Fourier d’OPH : connaitre la propagation des OPH suffit à connaitre celle de n’importe quelle onde.

2.5. Ondes stationnaires

Une onde stationnaire ne se propage pas : la position des sommets et des creux ne varie pas dans le temps. Les points d’amplitude nulle sont les nœuds, ceux d’amplitude maximale les ventres.

Une onde stationnaire s’écrit souvent comme un produit d’une fonction de 𝑡 et d’une fonction de l’espace ; une onde (plane) stationnaire harmonique s’écrit 𝐴cos(𝜔𝑡+𝜑)cos(𝑘⃗⋅𝑂𝑀⃗+𝜓).

2.6. Quelle solution privilégier ?

Dans un milieu infini, on privilégie les solutions progressives ; dans un milieu fini ou semi-infini, les solutions stationnaires.

3. Conditions aux limites dans un milieu fini ou semi-infini

Un milieu semi-infini possède un bord (une condition aux limites), un milieu fini deux bords (deux conditions aux limites).

3.1. Conditions strictes

Une condition aux limites stricte impose une valeur constante (souvent nulle) à l’onde en un point.

Schéma 5 – Conditions strictes pour la corde

Pour un câble coaxial : court-circuit (𝑢=0) ou circuit ouvert (𝑖=0).

Schéma 6 – Conditions strictes pour un câble coaxial

Pour une onde sonore, la condition porte sur la surpression ou sur la vitesse.

Exemple 4
Dans un tuyau, une extrémité fermée impose une vitesse nulle et une extrémité ouverte impose une surpression nulle.

Pour une onde électromagnétique : dans un métal parfait la conductivité est infinie, donc le champ électrique y est nul ; la composante tangentielle de 𝐸⃗ étant continue, un métal parfait impose une condition stricte au champ électrique tangent.

Schéma 7 – Condition stricte pour une onde électromagnétique
3.1.1. Réflexion et onde stationnaire

Une OPH incidente se réfléchit sur une condition aux limites stricte et donne une onde stationnaire.

Point clé 16 – Réflexion d’une OPH sur une condition stricte ✍

Hypothèses :

  • Onde incidente : OPH 𝑦𝑖=𝑌0,𝑖𝑒𝑗(𝜔𝑡+𝑘𝑥).
  • Onde réfléchie : OPH 𝑦𝑟=𝑌0,𝑟𝑒𝑗(𝜔𝑡−𝑘𝑥).
  • Condition aux limites : ∀𝑡,𝑦(0,𝑡)=0.
𝑦(𝑥,𝑡)=−2𝑌0,𝑖sin(𝜔𝑡)sin(𝑘𝑥)

Une onde stationnaire peut donc s’écrire comme somme de deux ondes progressives.

Application 6 ✍
Montrer qu’une OPH peut s’écrire comme la somme de deux ondes stationnaires harmoniques.

3.2. Condition imposée

Une source (pot vibrant, générateur, membrane…) peut imposer la valeur de l’onde en un point.

3.3. Deux conditions aux limites : quantification des modes propres

Dans un milieu fini, deux conditions aux limites sont imposées. Si elles sont toutes deux strictes, seules certaines ondes peuvent exister : les modes propres.

Point clé 17 – Modes propres pour deux conditions strictes ♥︎✍

Hypothèses :

  • 𝑦 est solution d’une équation de d’Alembert.
  • Condition stricte en 0 : ∀𝑡,𝑦(0,𝑡)=0.
  • Condition stricte en 𝐿 : ∀𝑡,𝑦(𝐿,𝑡)=0.
  • 𝑦 est cherchée comme superposition d’une OPH incidente et d’une OPH réfléchie.
𝜔𝑛=𝑛𝜋𝑐𝐿avec𝑛∈ℕ∗
avec 𝜔𝑛 la 𝑛-ième pulsation propre (rad s−1) ; 𝑐 la célérité de l’onde (m s−1) ; 𝐿 la distance entre les deux conditions aux limites strictes (m).

Lorsque le milieu fini est excité à une fréquence proche d’un mode propre, l’amplitude devient très grande : c’est la résonance.

Application 7 ✍
Une corde de longueur 𝐿 est accrochée à un vibreur imposant 𝑎0cos(𝜔𝑡) en 𝑥=0 ; l’autre extrémité est fixe. Déterminer les pulsations de résonance et montrer qu’elles coïncident avec celles des modes propres.

4. Relation entre grandeurs couplées

Les deux grandeurs couplées d’une onde sont liées par des relations simples pour les OPH.

4.1. Impédance caractéristique d’un câble coaxial

Point clé 18 – Impédance caractéristique d’un câble coaxial ♥︎✍

Hypothèse : Pour une OPH.

𝑢=±𝑍𝑐𝑖avec𝑍𝑐=ΛΓ

(+ pour une OPH vers les 𝑥 croissants, − vers les 𝑥 décroissants.)

avec 𝑢(𝑥,𝑡) la tension à l’abscisse 𝑥 et à l’instant 𝑡 (V) ; 𝑖(𝑥,𝑡) l’intensité du courant à l’abscisse 𝑥 et à l’instant 𝑡 (A) ; 𝑍𝑐 =Λ/Γ l’impédance caractéristique du câble (Ω) ; Λ l’inductance linéique du câble (H m−1) ; Γ la capacité linéique du câble (F m−1).
4.1.1. Réflexion sur une impédance terminale
Schéma 8 – Câble coaxial fermé sur une impédance terminale
Point clé 19 – Coefficient de réflexion sur une résistance terminale ✍

Hypothèses :

  • Onde incidente : OPH 𝑢𝑖=𝑢𝑖,0cos(𝜔𝑡−𝑘𝑥).
  • Onde réfléchie : OPH 𝑢𝑟=𝑢𝑟,0cos(𝜔𝑡+𝑘𝑥+𝜑).
  • Le câble est fermé sur une résistance 𝑅𝑡 en 𝑥=0.
𝑢𝑟,0𝑢𝑖,0=𝑅𝑡−𝑍𝑐𝑅𝑡+𝑍𝑐
avec 𝑢𝑖,0 l’amplitude de l’onde de tension incidente (V) ; 𝑢𝑟,0 l’amplitude de l’onde de tension réfléchie (V) ; 𝑅𝑡 la résistance terminale (Ω) ; 𝑍𝑐 =Λ/Γ l’impédance caractéristique du câble (Ω).

Lorsque la résistance terminale est égale à l’impédance caractéristique, il n’y a pas d’onde réfléchie : le câble est adapté.

Exemple 5
Les prises d’antenne de téléviseur sont chargées par une résistance égale à l’impédance caractéristique du câble, pour éviter toute réflexion.

4.2. Impédance acoustique

Point clé 20 – Impédance acoustique ♥︎✍

Hypothèses :

  • Pour une OPPH.
  • Dans l’approximation acoustique.
  • Le fluide est macroscopiquement au repos.
  • L’évolution est adiabatique réversible.
𝑃1=𝑍𝑎𝑣⃗1⋅𝑛⃗avec𝑍𝑎=𝜌0𝑐
avec 𝑃1(𝑀,𝑡) la surpression causée par l’onde (Pa) ; 𝑣⃗1 la vitesse du fluide (m s−1) ; 𝑛⃗ un vecteur unitaire dans la direction de propagation ; 𝑍𝑎 =𝜌0𝑐 l’impédance acoustique (Pa ⁠s m−1) ; 𝜌0 la masse volumique ambiante du fluide (kg m−3) ; 𝑐 la célérité de l’onde (m s−1).

4.3. Relation de structure

L’équation de Maxwell-Faraday fournit une relation entre les champs pour une OPPH.

Point clé 21 – Relation de structure d’une OPPH électromagnétique ♥︎✍

Hypothèses :

  • Pour une OPPH.
  • Dans le vide.
𝐵⃗=𝑘⃗∧𝐸⃗𝜔
avec 𝐵⃗ le champ magnétique (T) ; 𝑘⃗ =(2𝜋/𝜆)𝑛⃗ le vecteur d’onde (rad m−1) ; 𝐸⃗ le champ électrique (V m−1) ; 𝜔 =2𝜋/𝑇 la pulsation (rad s−1).

Les vecteurs 𝑘⃗, 𝐸⃗ et 𝐵⃗ sont mutuellement orthogonaux et (𝑘⃗,𝐸⃗,𝐵⃗) forme un trièdre direct.

5. Aspects énergétiques

5.1. Énergie acoustique

5.1.1. Vecteur de Poynting

Le vecteur de Poynting est le vecteur densité surfacique de puissance transportée par l’onde.

Point clé 22 – Vecteur de Poynting acoustique ♥︎✍
𝛱⃗=𝑃1𝑣⃗1
avec 𝛱⃗ le vecteur de Poynting (W m−2) ; 𝑃1(𝑀,𝑡) la surpression causée par l’onde (Pa) ; 𝑣⃗1 la vitesse du fluide (m s−1).
5.1.2. Intensité acoustique
Point clé 23 – Intensité acoustique ♥︎
𝐼=⟨‖𝛱⃗‖⟩
avec 𝐼 l’intensité acoustique (W m−2) ; 𝛱⃗ le vecteur de Poynting (W m−2).

Les intensités sonores usuelles s’étalant sur de nombreux ordres de grandeur, on introduit le niveau sonore.

Point clé 24 – Niveau sonore ♥︎
𝐼dB=10log(𝐼𝐼0)
avec 𝐼 l’intensité acoustique (W m−2) ; 𝐼0 =10−12 l’intensité acoustique de référence (W m−2).

𝐼0=1⋅10−12 W m−2 est le plus faible son perceptible par l’oreille humaine.

Exemple 6

Quelques ordres de grandeur :

5.1.3. Retour sur l’approximation acoustique
Point clé 25 – Vérification des hypothèses de l’approximation acoustique ✍
Hypothèses :
  • Pour une OPPH.
  • Dans l’air à la température de référence (𝐷th=2⋅10−5 m2 s−1).
Aux niveaux sonores usuels, l’évolution est adiabatique et 𝑃1≪𝑃0, ‖𝑣⃗‖≪𝑐.
5.1.4. Forme d’une onde sphérique
Point clé 26 – Forme d’une onde sonore sphérique ♥︎

Hypothèse : L’onde est sphérique.

𝑃1=𝑓(𝑟−𝑐𝑡)𝑟+𝑔(𝑟+𝑐𝑡)𝑟
avec 𝑃1(𝑀,𝑡) la surpression causée par l’onde (Pa).

Une onde sphérique s’atténue : sa puissance s’étale sur une surface croissante.

Application 8 ✍
Montrer que la puissance moyenne traversant une sphère de rayon 𝑟≫1/𝑘 ne dépend pas de 𝑟.

5.2. Énergie électromagnétique

5.2.1. Conservation de l’énergie
Point clé 27 – Équation locale de conservation de l’énergie (Poynting) ✍

Hypothèse : L’onde peut céder de la puissance aux porteurs de charge.

𝜕𝑤𝜕𝑡=−div 𝛱⃗−𝑗⃗élec⋅𝐸⃗
avec 𝑤 la densité volumique d’énergie (J m−3) ; 𝛱⃗ le vecteur de Poynting (W m−2) ; 𝑗⃗élec le vecteur densité de courant électrique (A m−2) ; 𝐸⃗ le champ électrique (V m−1).

Ce bilan permet d’identifier le vecteur de Poynting et la densité volumique d’énergie.

Point clé 28 – Densité d’énergie et vecteur de Poynting électromagnétiques ♥︎✍
𝑤=𝜀0𝐸22+𝐵22𝜇0et𝛱⃗=𝐸⃗∧𝐵⃗𝜇0
avec 𝑤 la densité volumique d’énergie (J m−3) ; 𝛱⃗ le vecteur de Poynting (W m−2) ; 𝐸⃗ le champ électrique (V m−1) ; 𝐵⃗ le champ magnétique (T) ; 𝜇0 la perméabilité magnétique du vide (H m−1) ; 𝜀0 la permittivité diélectrique du vide (F m−1).
5.2.2. Flux de photons

Le photon est une particule élémentaire de masse nulle qui transporte l’énergie de l’onde électromagnétique.

Point clé 29 – Relation de Planck-Einstein ♥︎
ℰ︀=ℎ𝜈
avec ℰ︀ l’énergie d’un photon (J) ; ℎ =6.63×10−34 la constante de Planck (J ⁠s) ; 𝜈 la fréquence de l’onde (Hz).
Application 9 ✍
Déterminer le débit de photons d’un pointeur laser rouge de puissance 5 mW.
5.2.3. Énergie d’une OPPH
Point clé 30 – Densité d’énergie et vecteur de Poynting d’une OPPH ✍

Hypothèses :

  • Dans le vide.
  • OPPH 𝐸⃗=𝐸0cos(𝜔𝑡−𝑘𝑥)𝑒⃗𝑦.
⟨𝑤⟩=𝜀0𝐸022et⟨𝛱⃗⟩=𝐸022𝑐𝜇0𝑒⃗𝑥
avec 𝑤 la densité volumique d’énergie (J m−3) ; 𝛱⃗ le vecteur de Poynting (W m−2) ; 𝐸0 l’amplitude du champ électrique (V m−1) ; 𝜀0 la permittivité diélectrique du vide (F m−1) ; 𝜇0 la perméabilité magnétique du vide (H m−1) ; 𝑐 la célérité de l’onde (m s−1).

Pour une OPPH, l’énergie est équirépartie entre forme électrique et forme magnétique, et l’énergie se propage dans la direction de l’onde.