Corde vibrante conductrice — Physique des ondes 1 : Phénomènes de propagation non dispersifs : équation de d'Alembert

On étudie les petits mouvements transverses d’une corde métallique de longueur

𝐿

, de masse linéique

𝜇

et de tension

𝑇

, fixée en

𝑥 = 0

𝑥 = 𝐿

. Un point de la corde d’abscisse au repos

𝑥

se déplace de

𝑧 (𝑥, 𝑡) {\vec{𝑒}}_{𝑧}

au passage de l’onde ; la pesanteur est négligée. La corde est parcourue par un courant

𝑖 (𝑡) = 𝑖_{0} cos (𝜔 𝑡)

et plongée dans un champ magnétique

\vec{𝐵} (𝑥) = 𝐵_{0} sin (\frac{𝜋 𝑥}{𝐿}) {\vec{𝑒}}_{𝑦}

. On rappelle la force de Laplace sur un élément

\vec{d 𝑙}

\vec{d 𝑓} = 𝑖 \vec{d 𝑙} \land \vec{𝐵}

Coup de pouce 1

Reprendre la démonstration de l’équation de d’Alembert de la corde, avec en plus la force de Laplace.

Corrigé

On isole l’élément de corde compris entre $𝑥$ et $𝑥 + d 𝑥$ , de masse $𝜇 d 𝑥$ . Il subit :

la résultante transverse des tensions, $𝑇 \frac{𝜕^{2} 𝑧}{𝜕 𝑥^{2}} d 𝑥 {\vec{𝑒}}_{𝑧}$ (petits angles) ;
la force de Laplace : $\vec{d 𝑙} \approx d 𝑥 {\vec{𝑒}}_{𝑥}$ , donc
$\vec{d 𝑓} = 𝑖 (𝑡) d 𝑥 {\vec{𝑒}}_{𝑥} \land 𝐵_{0} sin (\frac{𝜋 𝑥}{𝐿}) {\vec{𝑒}}_{𝑦} = 𝑖_{0} cos (𝜔 𝑡) 𝐵_{0} sin (\frac{𝜋 𝑥}{𝐿}) d 𝑥 {\vec{𝑒}}_{𝑧}$

La relation fondamentale de la dynamique projetée sur ${\vec{𝑒}}_{𝑧}$ donne

𝜇 d 𝑥 \frac{𝜕^{2} 𝑧}{𝜕 𝑡^{2}} = 𝑇 \frac{𝜕^{2} 𝑧}{𝜕 𝑥^{2}} d 𝑥 + 𝑖_{0} 𝐵_{0} cos (𝜔 𝑡) sin (\frac{𝜋 𝑥}{𝐿}) d 𝑥

soit, en posant $𝑐 = \sqrt{\frac{𝑇}{𝜇}}$ ,

\frac{𝜕^{2} 𝑧}{𝜕 𝑡^{2}} - 𝑐^{2} \frac{𝜕^{2} 𝑧}{𝜕 𝑥^{2}} = \frac{𝑖_{0} 𝐵_{0}}{𝜇} cos (𝜔 𝑡) sin (\frac{𝜋 𝑥}{𝐿})

2/ En régime sinusoïdal forcé, on cherche

𝑧 (𝑥, 𝑡) = 𝑧_{0} sin (\frac{𝜋 𝑥}{𝐿}) cos (𝜔 𝑡)

. Commenter ce choix.

Coup de pouce 1

Cette onde est-elle stationnaire ou progressive ?

Coup de pouce 2

Le milieu est-il fini, semi-infini ou infini ?

Corrigé

C’est une onde stationnaire (produit d’une fonction de

𝑥

et d’une fonction de

𝑡

). Le milieu est fini : on y privilégie les solutions stationnaires. Le profil spatial

sin (𝜋 𝑥 / 𝐿)

s’annule en

𝑥 = 0

𝑥 = 𝐿

: il respecte les deux conditions aux limites strictes (corde fixée). Enfin, le second membre a exactement la même dépendance spatiale et temporelle : la réponse forcée a naturellement cette forme.

3/ Déterminer

𝑧_{0}

. Que se passe-t-il quand

𝜔 \to 𝜋 𝑐 / 𝐿

? La modélisation reste-t-elle valable ?

Coup de pouce 1

Injecter

𝑧

dans l’équation d’onde.

Coup de pouce 2

Les hypothèses de petits déplacements sont-elles compatibles avec une amplitude qui diverge ?

Corrigé

En injectant : $\frac{𝜕^{2} 𝑧}{𝜕 𝑡^{2}} = - 𝜔^{2} 𝑧$ et $\frac{𝜕^{2} 𝑧}{𝜕 𝑥^{2}} = - {(\frac{𝜋}{𝐿})}^{2} 𝑧$ , d’où

(- 𝜔^{2} + 𝑐^{2} {(\frac{𝜋}{𝐿})}^{2}) 𝑧_{0} sin (\frac{𝜋 𝑥}{𝐿}) cos (𝜔 𝑡) = \frac{𝑖_{0} 𝐵_{0}}{𝜇} cos (𝜔 𝑡) sin (\frac{𝜋 𝑥}{𝐿})

𝑧_{0} = \frac{𝑖_{0} 𝐵_{0} / 𝜇}{{(𝜋 𝑐 / 𝐿)}^{2} - 𝜔^{2}}

Quand $𝜔 \to 𝜔_{1} = 𝜋 𝑐 / 𝐿$ (première pulsation propre de la corde fixée à ses deux extrémités), $𝑧_{0} \to \infty$ : c’est une résonance avec le premier mode propre.

L’amplitude ne peut évidemment pas diverger réellement : l’hypothèse des petits déplacements (et la linéarité de la tension) cesse d’être valable, et surtout l’amortissement — négligé ici — limite l’amplitude au voisinage de la résonance.

Corde vibrante conductrice ★★