Cavité électromagnétique à une dimension — Physique des ondes 1 : Phénomènes de propagation non dispersifs : équation de d'Alembert

On considère le vide compris entre deux plans infiniment conducteurs d’équations

𝑥 = 0

𝑥 = 𝑎

. On étudie le champ électromagnétique entre les plans.

Corrigé

En combinant les équations de Maxwell dans le vide ( $𝜌 = 0$ , $\vec{𝑗} = \vec{0}$ ), on obtient l’équation de d’Alembert

Δ \vec{𝐸} - \frac{1}{𝑐^{2}} \frac{𝜕^{2} \vec{𝐸}}{𝜕 𝑡^{2}} = \vec{0} avec 𝑐 = \frac{1}{\sqrt{𝜀_{0} 𝜇_{0}}}

2/ On cherche

\vec{𝐸} = 𝑓 (𝑥) 𝑔 (𝑡) {\vec{𝑒}}_{𝑦}

. Établir

𝑓^{″} (𝑥) = 𝛼 𝑓 (𝑥)

𝑔^{″} (𝑡) = 𝛼 𝑐^{2} 𝑔 (𝑡)

, où

𝛼

est une constante.

Coup de pouce 1

Remplacer

\vec{𝐸}

par

𝑓 (𝑥) 𝑔 (𝑡) {\vec{𝑒}}_{𝑦}

dans l’équation de d’Alembert et séparer les variables.

Corrigé

Le champ ne dépend que de $𝑥$ : $Δ \vec{𝐸} = 𝑓^{″} (𝑥) 𝑔 (𝑡) {\vec{𝑒}}_{𝑦}$ . L’équation de d’Alembert donne

𝑓^{″} (𝑥) 𝑔 (𝑡) - \frac{1}{𝑐^{2}} 𝑓 (𝑥) 𝑔^{″} (𝑡) = 0 \Rightarrow \frac{𝑓^{″} (𝑥)}{𝑓 (𝑥)} = \frac{1}{𝑐^{2}} \frac{𝑔^{″} (𝑡)}{𝑔 (𝑡)}

Le membre de gauche ne dépend que de $𝑥$ , celui de droite que de $𝑡$ : ils sont égaux à une constante $𝛼$ . D’où $𝑓^{″} = 𝛼 𝑓$ et $𝑔^{″} = 𝛼 𝑐^{2} 𝑔$ .

Coup de pouce 1

Dans un conducteur parfait,

\vec{𝐸} = \vec{0}

; la composante tangentielle de

\vec{𝐸}

est continue.

Corrigé

$\vec{𝐸}$ est porté par ${\vec{𝑒}}_{𝑦}$ , tangent aux plans conducteurs. Dans un conducteur parfait le champ est nul, et la composante tangentielle de $\vec{𝐸}$ est continue : donc $\vec{𝐸} (0, 𝑡) = \vec{𝐸} (𝑎, 𝑡) = \vec{0}$ , soit

𝑓 (0) = 𝑓 (𝑎) = 0

4/ Déterminer

𝑓 (𝑥)

et l’écrire comme une fonction de

𝑘 𝑥

, où

𝑘

dépend d’un entier

𝑛

Coup de pouce 1

L’équation sur

𝑓

a trois familles de solutions selon le signe de

𝛼

: une seule admet des solutions non nulles compatibles avec les CL.

Corrigé

Si $𝛼 > 0$ : $𝑓 = 𝐴 𝑒^{\sqrt{𝛼} 𝑥} + 𝐵 𝑒^{- \sqrt{𝛼} 𝑥}$ ; les CL imposent $𝐴 = 𝐵 = 0$ .
Si $𝛼 = 0$ : $𝑓$ affine ; les CL imposent $𝑓 = 0$ .
Si $𝛼 < 0$ : on pose $𝛼 = - 𝑘^{2}$ , $𝑓 = 𝐴 cos (𝑘 𝑥) + 𝐵 sin (𝑘 𝑥)$ . $𝑓 (0) = 0 \Rightarrow 𝐴 = 0$ ; $𝑓 (𝑎) = 0 \Rightarrow 𝐵 sin (𝑘 𝑎) = 0$ , donc $𝑘 𝑎 = 𝑛 𝜋$ avec $𝑛 \in ℕ^{*}$ .

D’où

𝑓 (𝑥) = 𝐸_{0} sin (𝑘 𝑥) avec 𝑘 = \frac{𝑛 𝜋}{𝑎}

5/ En déduire

\vec{𝐸}

en fonction de

𝑘

, d’une constante

𝐸_{0}

et d’une phase

𝜙

Coup de pouce 1

Quelles sont les solutions de l’équation sur

𝑔

Corrigé

Avec $𝛼 = - 𝑘^{2}$ : $𝑔^{″} = - 𝑘^{2} 𝑐^{2} 𝑔 = - 𝜔^{2} 𝑔$ où $𝜔 = 𝑘 𝑐$ . Donc $𝑔 (𝑡) = cos (𝜔 𝑡 + 𝜙)$ (à une constante près, absorbée dans $𝐸_{0}$ ) et

\vec{𝐸} = 𝐸_{0} sin (𝑘 𝑥) cos (𝜔 𝑡 + 𝜙) {\vec{𝑒}}_{𝑦}, 𝑘 = \frac{𝑛 𝜋}{𝑎}, 𝜔 = 𝑘 𝑐

Corrigé

Une corde vibrante fixée à ses deux extrémités (en

𝑥 = 0

𝑥 = 𝑎

) : mêmes conditions aux limites strictes, mêmes modes propres

𝜔_{𝑛} = \frac{𝑛 𝜋 𝑐}{𝑎}

, mêmes profils

sin (𝑛 𝜋 𝑥 / 𝑎)

7/ Établir

\vec{𝐵}

. Que dire des points où

\vec{𝐵}

est constamment nul par rapport à ceux où

\vec{𝐸}

l’est ?

Coup de pouce 1

La relation de structure (démontrée pour une OPPH) ne s’applique pas ici.

Coup de pouce 2

Utiliser l’équation de Maxwell-Faraday.

Corrigé

Maxwell-Faraday : $\frac{𝜕 \vec{𝐵}}{𝜕 𝑡} = - \vec{rot} \vec{𝐸}$ . Avec $\vec{𝐸} = 𝐸_{𝑦} (𝑥, 𝑡) {\vec{𝑒}}_{𝑦}$ et $𝐸_{𝑦}$ ne dépendant que de $𝑥$ :

\vec{rot} \vec{𝐸} = \frac{𝜕 𝐸_{𝑦}}{𝜕 𝑥} {\vec{𝑒}}_{𝑧} = 𝐸_{0} 𝑘 cos (𝑘 𝑥) cos (𝜔 𝑡 + 𝜙) {\vec{𝑒}}_{𝑧}

d’où, en intégrant en temps,

\vec{𝐵} = - \frac{𝐸_{0}}{𝑐} cos (𝑘 𝑥) sin (𝜔 𝑡 + 𝜙) {\vec{𝑒}}_{𝑧}

$\vec{𝐸} \propto sin (𝑘 𝑥)$ : nœuds en $𝑘 𝑥 = 𝑚 𝜋$ . $\vec{𝐵} \propto cos (𝑘 𝑥)$ : nœuds en $𝑘 𝑥 = \frac{𝜋}{2} + 𝑚 𝜋$ . Les nœuds de $\vec{𝐵}$ coïncident avec les ventres de $\vec{𝐸}$ et réciproquement : les deux ondes stationnaires sont décalées d’un quart de longueur d’onde dans l’espace (et de $𝜋 / 2$ dans le temps).

Cavité électromagnétique à une dimension ★★