Câble coaxial alimenté par un générateur — Physique des ondes 1 : Phénomènes de propagation non dispersifs : équation de d'Alembert

Un câble coaxial sans pertes, de longueur

𝐿

, d’impédance caractéristique

𝑍_{𝑐}

et de célérité

𝑐

, est alimenté en

𝑥 = 0

par une source de tension

𝑒 (𝑡) = 𝐸_{0} cos (𝜔 𝑡)

. L’autre extrémité (

𝑥 = 𝐿

) est laissée ouverte. On note

𝑘 = 𝜔 / 𝑐

1/ Déterminer l’onde de tension

𝑢 (𝑥, 𝑡)

et l’onde de courant

𝑖 (𝑥, 𝑡)

Coup de pouce 1

Deux méthodes : solution

𝑓 (𝑥) 𝑔 (𝑡)

(milieu fini), ou somme d’une onde incidente et d’une onde réfléchie.

Coup de pouce 2

Conditions aux limites : en

𝑥 = 0

? en

𝑥 = 𝐿

Corrigé

On cherche $𝑢 (𝑥, 𝑡) = Re [𝑈 (𝑥) 𝑒^{𝑗 𝜔 𝑡}]$ avec $𝑈 (𝑥) = 𝑈_{+} 𝑒^{- 𝑗 𝑘 𝑥} + 𝑈_{-} 𝑒^{𝑗 𝑘 𝑥}$ . Les équations des télégraphistes donnent

𝐼 (𝑥) = \frac{1}{𝑍_{𝑐}} (𝑈_{+} 𝑒^{- 𝑗 𝑘 𝑥} - 𝑈_{-} 𝑒^{𝑗 𝑘 𝑥})

Condition en $𝑥 = 𝐿$ (extrémité ouverte, $𝑖 (𝐿, 𝑡) = 0$ ) : $𝑈_{+} 𝑒^{- 𝑗 𝑘 𝐿} = 𝑈_{-} 𝑒^{𝑗 𝑘 𝐿}$ .

Condition en $𝑥 = 0$ (source, $𝑢 (0, 𝑡) = 𝑒 (𝑡)$ ) : $𝑈_{+} + 𝑈_{-} = 𝐸_{0}$ .

On en tire $𝑈_{+} 𝑒^{- 𝑗 𝑘 𝐿} = 𝑈_{-} 𝑒^{𝑗 𝑘 𝐿} = 𝐸_{0} / (2 cos (𝑘 𝐿))$ , puis

\begin{aligned} 𝑢 (𝑥, 𝑡) & = 𝐸_{0} \frac{cos (𝑘 (𝐿 - 𝑥))}{cos (𝑘 𝐿)} cos (𝜔 𝑡) \\ 𝑖 (𝑥, 𝑡) & = - \frac{𝐸_{0}}{𝑍_{𝑐}} \frac{sin (𝑘 (𝐿 - 𝑥))}{cos (𝑘 𝐿)} sin (𝜔 𝑡) \end{aligned}

(tension : ventre en $𝑥 = 𝐿$ , nœud possible ailleurs ; courant : nœud en $𝑥 = 𝐿$ , conforme à l’extrémité ouverte).

2/ Pour certaines valeurs de

𝜔

, les amplitudes de

𝑢

𝑖

deviennent très grandes. Expliquer et déterminer ces pulsations.

Corrigé

Les amplitudes sont proportionnelles à $1 / cos (𝑘 𝐿)$ : elles divergent quand

cos (𝑘 𝐿) = 0 \Leftrightarrow 𝑘 𝐿 = \frac{𝜋}{2} + 𝑛 𝜋 \Leftrightarrow 𝜔_{𝑛} = (2 𝑛 + 1) \frac{𝜋 𝑐}{2 𝐿}, 𝑛 \in ℕ

Ce sont les résonances du câble « ouvert d’un côté, alimenté de l’autre » : elles correspondent à $𝐿 = (2 𝑛 + 1) 𝜆 / 4$ (résonances quart d’onde). En pratique, les pertes (négligées ici) limitent l’amplitude à une valeur finie.

Câble coaxial alimenté par un générateur ★★