Tir cadré ? — Méthodes numériques

🖥️ Tir cadré ? ★

Notebook Capytale de cet exercice : f85b-11678455

On étudie un tir au football. La vitesse initiale du ballon est de $20$ ⁠⁠ $m s^{- 1}$ selon l’axe $𝑥$ (horizontal) et de $12$ ⁠⁠ $m s^{- 1}$ selon l’axe $𝑧$ (vertical). Le ballon est sur le sol juste avant le tir.

Dans un premier temps, on ne prend en compte que la gravité.

1/ Établir l’équation différentielle vérifiée par la vitesse $\vec{𝑣}$ du ballon. Exprimer la dérivée de la vitesse.

Coup de pouce 1

Appliquer le théorème de la résultante cinétique au ballon.

Corrigé

Le théorème de la résultante cinétique appliqué au ballo, s’écrit

𝑚 \frac{d \vec{𝑣}}{d 𝑡} = 𝑚 \vec{𝑔}

soit

\frac{d \vec{𝑣}}{d 𝑡} = \vec{𝑔}

On résout numériquement l’équation différentielle en utilisant la fonction solve_ivp de la bibliothèque scipy.integrate.

2/ Compléter le code suivant.

from scipy.integrate import solve_ivp, trapezoid
import numpy as np

g = 9.81 # m/s^2
rho = 1.2 # kg/m^3
v0 = np.array([20, 0, 12]) # m/s

def dv_dt(t, v):
    a = ... # accélération
    return a

sol = solve_ivp(dv_dt, [0, 2], v0, max_step=0.01)

t = sol.t
vx = sol.y[0, :]
vy = sol.y[1, :]
vz = sol.y[2, :]

Corrigé

def dv_dt(t, v):
    a = - g * np.array([0,0,1])
    return a

Il est maintenant nécessaire de calculer la position du ballon en intégrant la vitesse en utilisant la méthode des rectangles.

3/ Compléter le code suivant. Attention, les temps calculés par la fonction solve_ivp ne sont pas forcément régulièrement espacés.

x = [0]
y = [0]
z = [0]

for i in range(1, len(sol.t)):
    x.append(...)
    y.append(...)
    z.append(...)

Corrigé

for i in range(1, len(sol.t)):
    x.append(x[-1] + vx[i] * (t[i]-t[i-1]))
    y.append(y[-1] + vy[i] * (t[i]-t[i-1]))
    z.append(z[-1] + vz[i] * (t[i]-t[i-1]))

Pour vérifier si le tir est cadré, on trace la trajectoire du ballon grâce au code suivant.

fig = plt.figure()
ax = fig.add_subplot(111, projection="3d")

ax.plot(x, y, z)

# Tracé des cages
x_cages = 14.5
y_cages = 0.3
l_cages = 7.32
h_cages = 2.44
ax.plot(
    [x_cages]*4,
    [y_cages, y_cages, y_cages + l_cages, y_cages + l_cages],
    [0, h_cages, h_cages, 0],
    color="orange")

# Mise en forme
ax.set_xlabel("x (m)")
ax.set_ylabel("y (m)")
ax.set_zlabel("z (m)")
ax.set_title("Trajectoire 3D")
ax.set_zlim(0, max(z)*1.1)

plt.tight_layout()
plt.show()

4/ Le tir est-il cadré ?

Coup de pouce 1

La trajectoire du ballon passe-t-elle par les cages ?

Corrigé

Non, la trajectoire du ballon passe au-dessus des cages.

On prend maintenant en compte les frottements avec l’air $\vec{𝐹} = - \frac{1}{2} 𝜋 𝜌 𝐶_{𝑥} 𝑅^{2} ‖ \vec{𝑣} ‖ \vec{𝑣}$ . On donne les valeurs numériques suivantes : $𝜌 = 1,2 kg m^{- 3}$ , $𝐶_{𝑥} = 0,47$ , $𝑅 = 0,11 m$ et $𝑚 = 145 g$

5/ Modifier la fonction dv_dt pour inclure la force de traînée.

On pourra utiliser la fonction np.linalg.norm(v) pour calculer la norme du vecteur vitesse $𝑣$ .

Le tir est-il maintenant cadré ?

Coup de pouce 1

Comment s’exprime la force de trainée ?

Corrigé

rho = 1.2 # kg/m^3
Cx = 0.47 # coefficient de trainée
R = 0.11 # rayon m
S = np.pi * R**2 # cross-sectional area
m = 0.145 # masse kg

def dv_dt(t, v):
    a = - g * np.array([0,0,1]) - 1/2 * rho * Cx * S / m * np.linalg.norm(v) * v
    return a

Le tir n’est toujours pas cadré, il passe à coté des cages.

Le footballeur a mis de l’effet dans la balle en lui imprimant une rotation de $Ω = 100 tr {min}^{- 1}$ autour de l’axe $(𝑂 𝑧)$ . Cette rotation engendre une force de portance appelée force de Magnus et s’exprimant comme $\frac{1}{2} 𝐶 𝜌 𝑅^{3} \vec{𝛺} \land \vec{𝑣}$ avec $𝐶 \approx 1$ .

6/ Modifier la fonction dv_dt pour inclure la force de Magnus.

Le tir est-il maintenant cadré ?

Corrigé

Omega = np.array([0,0,100*2*np.pi/60])

def dv_dt(t, v):
    a = - g * np.array([0,0,1]) - 1/2 * rho * Cx * S / m * np.linalg.norm(v) * v + 1/2 * rho * R**3 * np.cross(Omega,v) / m
    return a

Oui, en prenant en compte toutes ces forces, le tir est cadré.