Méthodes numériques

La méthode d’Euler est une procédure permettant de résoudre numériquement et approximativement des équations différentielles à partir d’une condition initiale.

1.1. Discrétisation

La mémoire des ordinateurs étant finie, il est indispensable de discrétiser le problème pour le résoudre numériquement. Discrétiser consiste à associer à une fonction

𝑦 (𝑡)

une suite

𝑦_{𝑖} = 𝑦 (𝑖 \cdot Δ 𝑡)

où

Δ 𝑡

est appelé pas de temps. Le pas de temps est l’équivalent de la période d’échantillonnage.

1.2. Problème d’Euler

Un problème d’Euler est une équation différentielle d’ordre 1 munie d’une condition initiale : on cherche la fonction

𝑦

telle que

𝑦^{'} (𝑡) = 𝑓 (𝑦, 𝑡)

𝑦 (𝑡 = 0) = 𝑦_{0}

. La fonction recherchée peut éventuellement être un vecteur et donc avoir plusieurs composantes.

Exemple 1

\frac{d 𝑢}{d 𝑡} = - \frac{1}{𝜏} 𝑢

\frac{d \vec{𝑣}}{d 𝑡} = \vec{𝑔} - \frac{𝑘}{𝑚} \vec{𝑣}

Les équations différentielles d’ordre supérieur peuvent être mises sous la forme de problème d’Euler en introduisant un vecteur dont les coordonnées sont des dérivées successives.

Application 1 ✍

Mettre sous forme de problème d’Euler les équations différentielles suivantes.

𝑚 \frac{d^{2} 𝑥}{d 𝑡^{2}} = - 𝛼 {\frac{d 𝑥}{d 𝑡}}^{2} - 𝑘 𝑥 avec {\frac{d 𝑥}{d 𝑡} |}_{𝑡 = 0} = 𝑣_{0} et 𝑥 (𝑡 = 0) = 𝑥_{0}

𝑚 \frac{d^{2} \vec{𝑂 𝑀}}{d 𝑡^{2}} = - 𝑘 \vec{𝑣} + 𝑚 \vec{𝑔} avec {\frac{d \vec{𝑂 𝑀}}{d 𝑡} |}_{𝑡 = 0} = 𝑣_{0} {\vec{𝑒}}_{𝑥} et \vec{𝑂 𝑀} (𝑡 = 0) = \vec{0}

𝑎 \frac{d^{3} 𝑦}{d 𝑡^{3}} + 𝑏 \frac{d^{2} 𝑦}{d 𝑡^{2}} + 𝑐 \frac{d 𝑦}{d 𝑡} + 𝑑 𝑦 = 𝑒 avec {\frac{d^{2} 𝑦}{d 𝑡^{2}} |}_{𝑡 = 0} = 𝑎_{0}, {\frac{d 𝑦}{d 𝑡} |}_{𝑡 = 0} = 𝑣_{0} et 𝑦 (𝑡 = 0) = 𝑦_{0}

1.3. Méthode d’Euler

La méthode d’Euler consiste à approximer la courbe localement par sa tangente. Cette approximation s’appuie sur la formule de Taylor à l’ordre 1.

Point clé 1 – Schéma d’Euler ♥︎✍

𝑦_{𝑖 + 1} = 𝑦_{𝑖} + Δ 𝑡 \cdot 𝑓 (𝑦_{𝑖}, 𝑡_{𝑖})

2. Résolution numérique d’équations aux dérivées partielles

Il est possible d’adapter la méthode d’Euler pour résoudre des équations aux dérivées partielles.

2.1. Discrétisation

Une double discrétisation, spatiale et temporelle, est nécessaire pour résoudre numériquement une équation aux dérivées partielles. On pose

𝑓_{𝑖, 𝑗} = 𝑓 (𝑖 \cdot Δ 𝑡, 𝑗 \cdot Δ 𝑥)

où

Δ 𝑡

est le pas de temps et

Δ 𝑥

le pas d’espace.

2.2. Résolution numérique de l’équation de diffusion

Dans cette partie, on s’appuie sur l’exemple de l’équation de diffusion

\frac{𝜕 𝑇}{𝜕 𝑡} = 𝐷 \frac{𝜕^{2} 𝑇}{𝜕 𝑥^{2}}

mais la méthode peut être adaptée à toute équation aux dérivées partielles.

Dans l’équation de diffusion, une dérivée seconde spatiale est présente. On l’approxime en utilisant une formule de Taylor à l’ordre 2.

Point clé 2 – Approximation de la dérivée seconde spatiale ♥︎✍

{\frac{𝜕^{2} 𝑇}{𝜕 𝑥^{2}}}_{𝑖, 𝑗} \approx \frac{𝑇_{𝑖, 𝑗 + 1} - 2 𝑇_{𝑖, 𝑗} + 𝑇_{𝑖, 𝑗 - 1}}{Δ 𝑥^{2}}

Point clé 3 – Schéma pour résoudre numériquement une équation de diffusion ✍

𝑇_{𝑖 + 1, 𝑗} = 𝐷 \frac{Δ 𝑡}{Δ 𝑥^{2}} 𝑇_{𝑖, 𝑗 + 1} + 𝐷 \frac{Δ 𝑡}{Δ 𝑥^{2}} 𝑇_{𝑖, 𝑗 - 1} + (1 - 2 \frac{𝐷 (Δ 𝑡)}{Δ 𝑥^{2}}) 𝑇_{𝑖, 𝑗}

Afin que ce schéma soit stable, il est nécessaire que

2 𝐷 \frac{Δ 𝑡}{Δ 𝑥^{2}} < 1

On peut interpréter

𝑇_{𝑖, 𝑗}

sous la forme d’une matrice. Chaque ligne

𝑖

correspond alors à la température à un instant

𝑖 \cdot Δ 𝑡

partout dans le milieu. Chaque colonne

𝑗

correspond à la température à une position

𝑗 \cdot Δ 𝑥

à tous les instants.