Circuit RC — Méthodes numériques

On cherche à modéliser la charge d’un condensateur dans un circuit RC série soumis à une tension continue

𝐸

𝑡 = 0

, l’interrupteur

𝐾

est fermé. Le condensateur est initialement déchargé.

Coup de pouce 1

Écrire la loi des mailles. Comment tension et courant sont-ils liés pour le résistor et pour le condensateur ?

Corrigé

La loi des mailles s’écrit $𝐸 = 𝑢_{𝑅} + 𝑢$ avec $𝑢_{𝑅} = 𝑅 𝑖$ et $𝑖 = 𝐶 \frac{d 𝑢}{d 𝑡}$ . Donc

𝐸 = 𝑅 𝐶 \frac{d 𝑢}{d 𝑡} + 𝑢

Coup de pouce 1

L’énoncé précise que le condensateur est initialement déchargé.

Coup de pouce 2

La tension aux bornes d’un condensateur est continue.

Corrigé

La tension aux bornes du condensateur est continue, de plus elle est nulle à

𝑡 = 0^{-}

(condensateur initialement déchargé). Donc

𝑢 (0^{+}) = 0

On souhaite résoudre numériquement cette équation différentielle à l’aide de la méthode d’Euler explicite. On note

𝑢_{𝑖} = 𝑢 (𝑖 \cdot Δ 𝑡)

la tension discrétisée.

Coup de pouce 1

Utiliser la formule de Taylor à l’ordre 1 pour

𝑢 (𝑡_{𝑖} + Δ 𝑡)

Corrigé

La relation de Taylor à l’ordre 1 donne

𝑢_{𝑖 + 1} = 𝑢 (𝑖 \cdot Δ 𝑡 + Δ 𝑡) = 𝑢 (𝑖 \cdot Δ 𝑡) + Δ 𝑡 \frac{d 𝑢}{d 𝑡} = 𝑢_{𝑖} - Δ 𝑡 (- \frac{1}{𝑅 𝐶} 𝑢_{𝑖} + \frac{1}{𝑅 𝐶} 𝐸)

4/ Écrire une suite d’instructions permettant de calculer les valeurs successives de

𝑢_{𝑖}

. On prendra

𝑅 = 1 kΩ

𝐶 = 1 µF

𝐸 = 5 V

Δ 𝑡 = 0,2 ms

et on effectuera

25

itérations.

Corrigé

R = 1e3
C = 1e-6
E = 5
Delta_t = 0.2e-3

N = 25
u = [0]  # u(0) = 0 V

for i in range(N):
    u.append(u[i] + Delta_t * (-1/(R * C) * u[i] + 1/(R * C) * E))

5/ Tracer l’évolution de

𝑢

en fonction du temps. Comparer avec la solution analytique que vous calculerez et tracerez également.

Coup de pouce 1

On peut utiliser la bibliothèque matplotlib.pyplot pour tracer des courbes en Python.

Coup de pouce 2

La solution est de la forme

𝑢 (𝑡) = 𝐴 (1 - exp (- \frac{𝑡}{𝜏}))

où

𝐴

𝜏

sont des constantes à déterminer.

Corrigé

La solution analytique est

𝑢 (𝑡) = 𝐸 (1 - exp (- \frac{𝑡}{𝑅 𝐶}))

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

temps = [i * Delta_t for i in range(N + 1)]
u_analytique = [E * (1 - np.exp(-t / (R * C))) for t in temps]

plt.plot(temps, u, label='Numérique (Euler explicite)')
plt.plot(temps, u_analytique, label='Analytique')
plt.xlabel('Temps (s)')
plt.ylabel('Tension u (V)')
plt.legend()
plt.show()

6/ Observer qualitativement l’effet de la valeur de

Δ 𝑡

sur la précision de la solution numérique.

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