Circuit électrique d'ordre 3 — Méthodes numériques

🖥️ Circuit électrique d’ordre 3

Notebook Capytale de cet exercice : afd4-11678457

On s’intéresse au circuit électrique d’ordre 3 représenté ci-dessous.

Les valeurs des composants sont $𝑅 = 10 Ω$ , $𝐿 = 1$ ⋅10−3 H et $𝐶 = 1$ ⋅10−6 F. La source de tension fournit une tension constante $𝐸 = 10 V$ .

L’évolution de $𝑢$ est régie par l’équation différentielle

𝑅 𝐿 𝐶^{2} \frac{d^{3} 𝑢}{d 𝑡^{3}} + 2 𝐿 𝐶 \frac{d^{2} 𝑢}{d 𝑡^{2}} + 𝑅 𝐶 \frac{d 𝑢}{d 𝑡} + 𝑢 (𝑡) = 0

On suppose que les conditions initiales sont $𝑢 (𝑡 = 0) = 0$ , ${\frac{d 𝑢}{d 𝑡} |}_{𝑡 = 0} = 3 V s^{- 1}$ et ${\frac{d^{2} 𝑢}{d 𝑡^{2}} |}_{𝑡 = 0} = 0$ . L’objectif de cet exercice est de déterminer l’évolution de $𝑢 (𝑡)$ au cours du temps.

1/ On note $𝑣 (𝑡) = \frac{d 𝑢}{d 𝑡}$ et $𝑤 (𝑡) = \frac{d^{2} 𝑢}{d 𝑡^{2}}$ . Mettre le problème sous la forme d’un problème d’Euler en exprimant $\frac{d 𝑢}{d 𝑡}$ , $\frac{d 𝑣}{d 𝑡}$ et $\frac{d 𝑤}{d 𝑡}$ en fonction de $𝑢 (𝑡)$ , $𝑣 (𝑡)$ et $𝑤 (𝑡)$ .

Corrigé

{\begin{cases} \frac{d 𝑢}{d 𝑡} = 𝑣 \\ \frac{d 𝑣}{d 𝑡} = \frac{d^{2} 𝑢}{d 𝑡^{2}} = 𝑤 \\ \frac{d 𝑤}{d 𝑡} = \frac{d^{3} 𝑢}{d 𝑡^{3}} = \frac{- 2 𝐿 𝐶 𝑤 (𝑡) - 𝑅 𝐶 𝑣 (𝑡) - 𝑢 (𝑡)}{𝑅 𝐿 𝐶^{2}} \end{cases}

2/ On note Y np.array([u, v, w]). Définir une fonction dY_dt(Y,t) qui retourne le tableau $\frac{d 𝑌}{d 𝑡}$ en prenant comme entrée le temps $𝑡$ et le tableau $𝑌$ .

Corrigé

def dY_dt(Y, t):
    u, v, w = Y
    du_dt = v
    dv_dt = w
    dw_dt = (-2 * L * C * w - R * C * v - u) / (R * L * C**2)
    return np.array([du_dt, dv_dt, dw_dt])

3/ Écrire une suite d’instructions permettant de calculer l’évolution de $𝑌 (𝑡)$ entre $𝑡 = 0$ et $𝑡 = 1 ms$ avec un pas de temps $Δ 𝑡 = 1 µs$ en utilisant la méthode d’Euler explicite.

Corrigé

# Définir les constantes
R = 10  # ohm
L = 1e-3  # H
C = 1e-6  # F
E = 10  # V

# Conditions initiales
u0 = 0  # V
v0 = 3  # V/s
w0 = 0  # V/s²
Y0 = np.array([u0, v0, w0])

# Paramètres de temps
t_final = 1e-3  # s
dt = 1e-6  # s

# Listes pour stocker les résultats
temps = [0]
Y = [Y0]

while temps[-1] < t_final:
    Y.append(Y[-1] + dY_dt(Y[-1], temps[-1]) * dt)
    temps.append(temps[-1] + dt)

4/ Tracer l’évolution de $𝑢 (𝑡)$ au cours du temps.

Corrigé

import matplotlib.pyplot as plt

u = [y[0] for y in Y]

plt.plot(temps, u)
plt.xlabel('Temps (s)')
plt.ylabel('Tension u(t) (V)')
plt.title('Évolution de la tension u(t) au cours du temps')
plt.grid()
plt.show()

La fonction odeint(func, y0, t)¹ de la bibliothèque scipy.integrate permet de résoudre des problèmes d’Euler en appliquant des méthodes plus sophistiquées mais reposant sur le même principe. Elle prend en entrée

func: une fonction qui retourne la dérivée de l’état en fonction de l’état et du temps,
y0: l’état initial,
t: un tableau des instants où l’on souhaite connaître la solution.

5/ Reprendre la question 3 en utilisant la fonction odeint pour calculer l’évolution de $𝑌 (𝑡)$ .

Corrigé

from scipy.integrate import odeint

# Paramètres de temps
t_final = 1e-3  # s
dt = 1e-6  # s
t = np.arange(0, t_final, dt)

# Calcul de l'évolution de Y(t) avec odeint
Y = odeint(dY_dt, Y0, t)

¹Documentation complète disponible à l’adresse https://docs.scipy.org/doc/scipy/reference/generated/scipy.integrate.odeint.html