Modulation d'amplitude — Électronique 5 : Modulation, démodulation

Pour émettre et recevoir une onde électromagnétique, il est nécessaire d’avoir une antenne dont la taille est une demi longueur d’onde.

Coup de pouce 1

L’onde transmise est-elle une onde électromagnétique ou une onde sonore ? Quelle est la célérité d’une telle onde ?

Coup de pouce 2

Quelles sont les fréquences comprises dans un signal audio ?

Corrigé

La taille de l’antenne vaut une demi-longueur d’onde :

Pour 20 Hz : \frac{𝜆}{2} = \frac{𝑐}{2 𝑓} = \frac{3 \times 10^{8}}{2 \times 20} \approx 7500 km

Pour 20 kHz : \frac{𝜆}{2} = \frac{3 \times 10^{8}}{2 \times 20 \times 10^{3}} \approx 7,5 km

Il faudrait donc une antenne de $7500$ ⁠⁠ $km$ !

On module le signal

𝑣_{𝑒} (𝑡)

en amplitude avec la porteuse

𝑣_{𝑝} (𝑡) = 𝐴_{𝑝} cos (2 𝜋 𝑓_{𝑝} 𝑡)

avant de l’émettre. La modulation peut se schématiser ainsi :

Pour démoduler correctement le signal, il ne faut pas que son enveloppe s’annule.

3/ Exprimer

𝑣_{𝑠} (𝑡)

en fonction de

𝑣_{𝑒} (𝑡)

𝑣_{𝑝} (𝑡)

Corrigé

D’après le schéma, $𝑣_{𝑠}$ est la somme de $𝑣_{𝑝}$ et du produit de $𝑣_{𝑒}$ et $𝑣_{𝑝}$ (multiplié par $𝑘$ ) :

𝑣_{𝑠} (𝑡) = 𝑣_{𝑝} (𝑡) + 𝑘 𝑣_{𝑒} (𝑡) 𝑣_{𝑝} (𝑡)

4/ Dans le cas où

𝑣_{𝑒} (𝑡)

est sinusoïdal (

𝑣_{𝑒} (𝑡) = 𝐴_{𝑒} cos (2 𝜋 𝑓_{𝑒} 𝑡)

), quelle valeur faut-il choisir pour

𝑘

Coup de pouce 1

Tracer l’allure du signal modulé en fonction du temps.

Coup de pouce 2

Que valent le maximum et le minimum de l’enveloppe du signal modulé ?

Corrigé

𝑣_{𝑠} (𝑡) = 𝐴_{𝑝} cos (2 𝜋 𝑓_{𝑝} 𝑡) + 𝑘 𝐴_{𝑝} cos (2 𝜋 𝑓_{𝑝} 𝑡) 𝐴_{𝑒} cos (2 𝜋 𝑓_{𝑒} 𝑡) = 𝐴_{𝑝} cos (2 𝜋 𝑓_{𝑝} 𝑡) [1 + 𝑘 𝐴_{𝑒} cos (2 𝜋 𝑓_{𝑒} 𝑡)]

Deux cas se présentent, selon que $𝑘 𝐴_{𝑒}$ est inférieur ou supérieur à $1$ :

Figure 2: À gauche

𝑘 𝐴_{𝑒} < 1

(signal non surmodulé), à droite

𝑘 𝐴_{𝑒} > 1

(signal surmodulé).

Si $𝑘 𝐴_{𝑒} < 1$ , la modulante $1 + 𝑘 𝐴_{𝑒} cos (2 𝜋 𝑓_{𝑒} 𝑡)$ est toujours positive : elle est bien égale à l’enveloppe du signal modulé, qui ne s’annule jamais. Si $𝑘 𝐴_{𝑒} > 1$ , la modulante peut devenir négative : l’enveloppe réelle du signal (toujours positive) ne coïncide plus avec la modulante, et le signal est surmodulé.

On peut donc démoduler le signal de façon non ambigüe si $𝑘 < \frac{1}{𝐴_{𝑒}}$ .

5/ Toujours pour

𝑣_{𝑒}

sinusoïdal, tracer le spectre du signal modulé

𝑣_{𝑠} (𝑡)

dans ce cas particulier.

Coup de pouce 1

Linéariser l’expression de

𝑣_{𝑠} (𝑡)

. Chaque terme de la somme correspond à un « pic » sur le spectre.

Corrigé

En linéarisant le produit de cosinus,

𝑣_{𝑠} (𝑡) = 𝐴_{𝑝} cos (2 𝜋 𝑓_{𝑝} 𝑡) + \frac{𝑘 𝐴_{𝑒} 𝐴_{𝑝}}{2} [cos (2 𝜋 (𝑓_{𝑝} + 𝑓_{𝑒}) 𝑡) + cos (2 𝜋 (𝑓_{𝑝} - 𝑓_{𝑒}) 𝑡)]

Le spectre de $𝑣_{𝑠}$ comporte donc 3 raies : une raie à $𝑓_{𝑝}$ d’amplitude $𝐴_{𝑝}$ , et deux raies latérales à $𝑓_{𝑝} - 𝑓_{𝑒}$ et $𝑓_{𝑝} + 𝑓_{𝑒}$ , d’amplitude $\frac{𝑘 𝐴_{𝑒} 𝐴_{𝑝}}{2}$ .

6/ On suppose maintenant que

𝑣_{𝑒} (𝑡)

est un signal audio. Tracer un spectre possible de

𝑣_{𝑒}

. Tracer alors le spectre de

𝑣_{𝑠}

en prenant

𝑓_{𝑝} = 520 kHz

Coup de pouce 1

Quelles sont les fréquences comprises dans un signal audio ?

Corrigé

Le spectre de $𝑣_{𝑒}$ occupe la bande audio, entre $20$ ⁠⁠ $Hz$ et $20$ ⁠⁠ $kHz$ :

Figure 4: Spectre (schématique) du signal audio

𝑣_{𝑒}

Le spectre de $𝑣_{𝑠}$ comporte alors, en plus de la raie à $𝑓_{𝑝} = 520 kHz$ , deux bandes latérales, images du spectre de $𝑣_{𝑒}$ , entre $500$ ⁠⁠ $kHz$ et $519 980$ ⁠⁠ $Hz$ d’une part, et entre $520 020$ ⁠⁠ $Hz$ et $540$ ⁠⁠ $kHz$ d’autre part :

Figure 5: Spectre de

𝑣_{𝑠}

: la porteuse à

520

⁠

kHz

entourée des deux bandes latérales.

7/ Les ondes moyennes s’étendent de

520

⁠

kHz

1620

⁠

kHz

. Combien de canaux audio peuvent être émis sur cette bande ?

Coup de pouce 1

À partir de la question précédente, quel « espace » prend un canal ?

Corrigé

Le spectre de $𝑣_{𝑠}$ occupe $40$ ⁠⁠ $kHz$ (deux fois la largeur $20$ ⁠⁠ $kHz$ de la bande audio). Dans la bande $[520; 1620]$ kHz, on peut donc faire tenir

\frac{1620 - 520}{40} \approx 27 canaux

Modulation d’amplitude