Démodulation par détection d'enveloppe — Électronique 5 : Modulation, démodulation

On souhaite démoduler un signal modulé en amplitude

𝑒 (𝑡) = 𝐴_{0} (1 + 𝑘 𝑠 (𝑡)) cos (2 𝜋 𝑓_{𝑝} 𝑡)

. On utilise pour cela le montage ci-dessous, appelé détecteur d’enveloppe.

1/ Montrer que lorsque la diode est passante (c’est-à-dire qu’elle se comporte comme un fil)

𝑠 (𝑡) = 𝑒 (𝑡)

Coup de pouce 1

Redessiner le schéma en remplaçant la diode par un fil.

Coup de pouce 2

Quelle est la différence de potentiel aux bornes d’un fil ?

Corrigé

Lorsque la diode est passante, elle se comporte comme un simple fil : le point d’entrée $𝑒 (𝑡)$ et le nœud de sortie sont directement reliés, sans qu’aucune différence de potentiel n’apparaisse à ses bornes. On a donc directement

𝑠 (𝑡) = 𝑒 (𝑡)

2/ Déterminer l’équation différentielle vérifiée par

𝑠 (𝑡)

lorsque la diode est bloquée (c’est-à-dire qu’elle se comporte comme un interrupteur ouvert).

Coup de pouce 1

Redessiner le schéma en remplaçant la diode par un interrupteur ouvert.

Coup de pouce 2

Introduire le courant passant dans le circuit.

Coup de pouce 3

En utilisant la relation entre tension et courant pour un condensateur et la loi d’Ohm, obtenir l’équation différentielle demandée.

Corrigé

Lorsque la diode est bloquée, elle se comporte comme un interrupteur ouvert : aucun courant $𝑖$ ne peut plus provenir de l’entrée $𝑒 (𝑡)$ . Le courant $𝑖 = 0$ se répartit alors entre $𝑅$ et $𝐶$ , en parallèle : $𝑖 = 𝑖_{1} + 𝑖_{2} = 0$ , donc $𝑖_{1} = - 𝑖_{2}$ , soit

\frac{𝑠}{𝑅} = - 𝐶 \frac{d 𝑠}{d 𝑡}

\frac{d 𝑠}{d 𝑡} + \frac{𝑠}{𝑅 𝐶} = 0

Le condensateur $𝐶$ , chargé lorsque la diode conduisait, se décharge alors dans $𝑅$ .

On utilise Python pour simuler l’évolution de

𝑠 (𝑡)

sur l’exemple d’un signal à transmettre sinusoïdal :

𝑒 (𝑡) = 𝐴_{0} cos (𝜔_{𝑝} 𝑡) (1 + 𝑚 cos (𝜔_{𝑠} 𝑡))

Coup de pouce 1

La fonction cos de la bibliothèque numpy accepte en argument un tableau de valeurs et renvoie un tableau de valeurs cosinus correspondantes.

Corrigé

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
omega_p = 2*np.pi*200 # pulsation de la porteuse
omega_s = 2*np.pi*1.5 # pulsation du signal
A0 = 2 # (V) amplitude du signal
m = 0.7 # taux de modulation

t = np.linspace(0,1,2000) # temps (s)
e = A0 * np.cos(omega_p*t) * (1+m*np.cos(omega_s*t)) # signal modulé en amplitude

plt.clf() #effacement de précédents tracés
plt.plot(t, e, label="signal modulé")
plt.xlabel("temps (s)")
plt.ylabel("tension (V)")
plt.legend()
plt.show()

Pour résoudre numériquement l’équation différentielle obtenue précédemment, on utilise la méthode d’Euler.

4/ Montrer que l’équation différentielle mène, une fois discrétisée, à la relation de récurrence

où

Δ 𝑡

est le pas de temps et

𝑠_{𝑖} = 𝑠 (𝑖 \times Δ 𝑡)

Coup de pouce 1

La relation de Taylor d’ordre 1 permet d’écrire

𝑠 (𝑡 + Δ 𝑡) \approx 𝑠 (𝑡) + Δ 𝑡 \frac{d 𝑠}{d 𝑡}

Corrigé

La relation de Taylor d’ordre 1 permet d’écrire

𝑠 (𝑡 + Δ 𝑡) \approx 𝑠 (𝑡) + Δ 𝑡 \frac{d 𝑠}{d 𝑡}

c’est-à-dire

𝑠_{𝑖 + 1} \approx 𝑠_{𝑖} + Δ 𝑡 \frac{d 𝑠}{d 𝑡}

En remplaçant $\frac{d 𝑠}{d 𝑡}$ par l’équation différentielle obtenue précédemment, on obtient

𝑠_{𝑖 + 1} \approx 𝑠_{𝑖} - \frac{Δ 𝑡}{𝑅 𝐶} 𝑠_{𝑖} = (1 - \frac{Δ 𝑡}{𝑅 𝐶}) 𝑠_{𝑖}

En effectuant le changement d’indice $𝑖 \to 𝑖 - 1$ , on obtient la relation demandée

𝑠_{𝑖} = (1 - \frac{Δ 𝑡}{𝑅 𝐶}) 𝑠_{𝑖 - 1}

Coup de pouce 1

Le pas de temps peut être calculé à partir du tableau des temps t.

Coup de pouce 2

Que vaut

𝑠

lorsque la diode est passante ?

Corrigé

Dt = t[1] - t[0] # pas de temps (s)
R = 40e3 # (Ohm) résistance
C = 1e-6 # (F) capacité

s = np.zeros(len(t)) # initialisation
for i in range(1,len(t)):
    s[i] = (1- Dt/(R*C)) * s[i-1] # méthode d'Euler
    if s[i] < e[i]: # si e dépasse s, la diode devient passante
        s[i] = e[i]

6/ Écrire les instructions permettant de tracer

𝑠

𝑒

sur le même graphique.

Coup de pouce 1

On peut s’inspirer du code de la question 3.

Corrigé

plt.clf()
plt.plot(t,e, label="signal modulé")
plt.plot(t,s, label="signal démodulé")
plt.xlabel("temps (s)")
plt.ylabel("tension (V)")
plt.legend()
plt.show()

En fonctions de valeurs de

𝑚

, le signal démodulé peut être plus ou moins fidèle au signal à transmettre.

7/ En modifiant les valeurs de

𝑚

dans le programme, dans quelle plage de valeurs le signal démodulé

𝑠 (𝑡)

suit-il correctement l’enveloppe du signal modulé

𝑒 (𝑡)

Coup de pouce 1

Pour

𝑚 = 0.8

, le signal est-il correctement démodulé ? Même question pour

𝑚 = 1.2

Corrigé

Pour que le signal démodulé

𝑠 (𝑡)

suive correctement l’enveloppe du signal modulé

𝑒 (𝑡)

, il faut que le taux de modulation

𝑚

soit inférieur à 1.

8/ Quelles conditions doit vérifier le produit

𝑅 𝐶

pour que le signal démodulé

𝑠 (𝑡)

suive correctement l’enveloppe du signal modulé

𝑒 (𝑡)

Coup de pouce 1

𝑅 𝐶

est le temps caractéristique auquel la tension

𝑠

tend vers

0

Coup de pouce 2

Que se passe-t-il si

𝑅 𝐶

est très petit ? A quoi faut-il le comparer ?

Coup de pouce 3

Que se passe-t-il si

𝑅 𝐶

est très grand ? A quoi faut-il le comparer ?

Corrigé

Pour que le signal démodulé $𝑠 (𝑡)$ suive correctement l’enveloppe du signal modulé $𝑒 (𝑡)$ , il faut que le produit $𝑅 𝐶$ soit grand devant la période de la porteuse et petit devant la période du signal à transmettre.

\frac{2 𝜋}{𝜔_{𝑠}} ≫ 𝑅 𝐶 ≫ \frac{2 𝜋}{𝜔_{𝑝}}

c’est-à-dire

𝜔_{𝑠} ≪ \frac{2 𝜋}{𝑅 𝐶} ≪ 𝜔_{𝑝}

🖥️ Démodulation par détection d’enveloppe