Simulation numérique d'un oscillateur de Wien — Électronique 3 : Oscillateurs

🖥️ Simulation numérique d’un oscillateur de Wien ★

Notebook Capytale de cet exercice : 42b7-11678447

Dans cet exercice, on cherche à simuler numériquement l’évolution des tensions dans l’oscillateur de Wien à l’aide de la méthode d’Euler.

On note $𝑠 (𝑡)$ la sortie de l’amplificateur non-inverseur et $𝑣 (𝑡)$ la tension de sortie du filtre de Wien.

Les fonctions de transfert de l’amplificateur et du filtre sont respectivement :

\begin{aligned} \frac{𝑆 (𝑝)}{𝑉 (𝑝)} & = 1 + \frac{𝑅_{2}}{𝑅_{1}} \\ \frac{𝑉 (𝑝)}{𝑆 (𝑝)} & = \frac{\frac{1}{3}}{1 + \frac{1}{3} (𝑅 𝐶 𝑝 + \frac{1}{𝑅 𝐶 𝑝})} \end{aligned}

1/ Montrer que la sortie $𝑠 (𝑡)$ de l’amplificateur non-inverseur vérifie l’équation différentielle

\frac{d^{2} 𝑠}{d 𝑡^{2}} + \frac{2 - \frac{𝑅_{2}}{𝑅_{1}}}{𝑅 𝐶} \frac{d 𝑠}{d 𝑡} + \frac{1}{{(𝑅 𝐶)}^{2}} 𝑠 (𝑡) = 0

Corrigé

La première fonction de transfert donne simplement

𝑠 (𝑡) = (1 + \frac{𝑅_{2}}{𝑅_{1}}) 𝑣 (𝑡)

La seconde peut se réécrire

(1 + \frac{1}{3} (𝑅 𝐶 𝑝 + \frac{1}{𝑅 𝐶 𝑝})) 𝑉 (𝑝) = \frac{1}{3} 𝑆 (𝑝)

soit, en multipliant par $3 𝑅 𝐶 𝑝$

3 𝑅 𝐶 𝑝 𝑉 (𝑝) + {(𝑅 𝐶 𝑝)}^{2} 𝑉 (𝑝) + 𝑉 (𝑝) = 𝑅 𝐶 𝑝 𝑆 (𝑝)

ce qui donne en temporel

3 𝑅 𝐶 \frac{d 𝑣}{d 𝑡} + {(𝑅 𝐶)}^{2} \frac{d^{2} 𝑣}{d 𝑡^{2}} + 𝑣 (𝑡) = 𝑅 𝐶 \frac{d 𝑠}{d 𝑡}

La méthode d’Euler ne s’applique qu’à des équations différentielles du premier ordre. Il est alors nécessaire de transformer ces équations en équations d’ordre 1. Pour cela, on introduit $𝑠_{𝑝} = \frac{d 𝑠}{d 𝑡}$ et $𝑣_{𝑝} = \frac{d 𝑣}{d 𝑡}$ .

2/ Montrer que les deux équations de la question précédente peuvent se réécrire sous la forme suivante :

{\begin{cases} 𝑠 = (1 + \frac{𝑅_{2}}{𝑅_{1}}) 𝑣 (𝑡) \\ \frac{d 𝑠}{d 𝑡} = 𝑠_{𝑝} (𝑡) \\ \frac{d 𝑣}{d 𝑡} = 𝑣_{𝑝} (𝑡) \\ \frac{d 𝑣_{𝑝}}{d 𝑡} = - \frac{3}{𝑅 𝐶} 𝑣_{𝑝} (𝑡) - \frac{1}{{(𝑅 𝐶)}^{2}} 𝑣 (𝑡) + \frac{1}{𝑅 𝐶} 𝑠_{𝑝} (𝑡) \end{cases}

Coup de pouce 1

Introduire

𝑣_{𝑝}

𝑠_{𝑝}

dans l’équation différentielle obtenue à la question précédente.

Corrigé

L’équation différentielle de la question précédente peut se réécrire

\frac{d^{2} 𝑣}{d 𝑡^{2}} = - \frac{3}{𝑅 𝐶} \frac{d 𝑣}{d 𝑡} - \frac{1}{{(𝑅 𝐶)}^{2}} 𝑣 (𝑡) + \frac{1}{𝑅 𝐶} \frac{d 𝑠}{d 𝑡}

soit, en remplaçant avec $𝑣_{𝑝}$ et $𝑠_{𝑝}$

\frac{d 𝑣_{𝑝}}{d 𝑡} = - \frac{3}{𝑅 𝐶} 𝑣_{𝑝} (𝑡) - \frac{1}{{(𝑅 𝐶)}^{2}} 𝑣 (𝑡) + \frac{1}{𝑅 𝐶} 𝑠_{𝑝} (𝑡)

Les trois autres sont simplement des définitions de $𝑠_{𝑝}$ et $𝑣_{𝑝}$ et de la relation entre $𝑠$ et $𝑣$ vue à la question précédente.

Pour résoudre numériquement ces équations, la méthode d’Euler consiste à discrétiser le temps en intervalles de durée $Δ 𝑡$ et à approximer les dérivées par des différences finies (relation de Tailor).

On note $𝑠_{𝑖} = 𝑠 (𝑖 \times Δ)$ ; $𝑣_{𝑖} = 𝑣 (𝑖 \times Δ 𝑡)$ ; $𝑠_{𝑝, 𝑖} = 𝑠_{𝑝} (𝑖 \times Δ 𝑡)$ et $𝑣_{𝑝, 𝑖} = 𝑣_{𝑝} (𝑖 \times Δ 𝑡)$ .

3/ Montrer que $𝑠_{𝑖}$ , $𝑣_{𝑖}$ , $𝑠_{𝑝, 𝑖}$ et $𝑣_{𝑝, 𝑖}$ vérifient les relations de récurrence suivantes :

{\begin{cases} 𝑠_{𝑝, 𝑖} = \frac{𝑠_{𝑖} - 𝑠_{𝑖 - 1}}{Δ 𝑡} \\ 𝑣_{𝑝, 𝑖} = 𝑣_{𝑝, 𝑖 - 1} + Δ 𝑡 (- \frac{3}{𝑅 𝐶} 𝑣_{𝑝, 𝑖 - 1} - \frac{1}{{(𝑅 𝐶)}^{2}} 𝑣_{𝑖 - 1} + \frac{1}{𝑅 𝐶} 𝑠_{𝑝, 𝑖}) \\ 𝑣_{𝑖} = 𝑣_{𝑖 - 1} + Δ 𝑡 𝑣_{𝑝, 𝑖 - 1} \end{cases}

Coup de pouce 1

La relation de Taylor stipule que

𝑠 (𝑡 + Δ 𝑡) \approx 𝑠 (𝑡) + Δ 𝑡 \frac{d 𝑠}{d 𝑡}

Coup de pouce 2

Transformer la relation de Taylor en relation de récurrence en utilisant la définition de

𝑠_{𝑖}

𝑣_{𝑖}

𝑠_{𝑝, 𝑖}

𝑣_{𝑝, 𝑖}

4/ Compléter le code suivant permettant de simuler numériquement l’évolution des tensions dans l’oscillateur de Wien.

import numpy as np

R1 = 1000# Ohm
R2 = 2001# Ohm
C = 1E-6# F
R = 1000# Ohm

T = ...# s période présumée

Dt = T/100# s pas de temps
tmax = 100*T# s durée de la simulation

N = int(tmax//dt)# nombre de points de la simulation

t = np.linspace(0,tmax, N)# tableau des temps
v = np.zeros(N)# V tableau des tensions v
vp = np.zeros(N)# V/s dérivée de v
s = np.zeros(N)# V tableau des tensions s
sp = np.zeros(N)# V/s dérivée de s

v[0] = 0.1 # petite perturbation initiale

for i in range(1,N):# Calcul de s et v au cours du temps grâce à la méthode d'Euler
    s[i] = (1+R2/R1)*v[i-1]
    sp[i] = ...
    vp[i] = ...
    v[i] = ...

Coup de pouce 1

A quelle période oscille l’oscillateur de Wien lorsque la condition d’oscillation est satisfaite ?

Coup de pouce 2

Utiliser les relations de récurrence obtenues à la question précédente.

Corrigé

import numpy as np

R1 = 1000# Ohm
R2 = 2001# Ohm
C = 1E-6# F
R = 1000# Ohm

T = 2*np.pi*R*C# s période présumée

Dt = T/100# s pas de temps
tmax = 100*T# s durée de la simulation

N = int(tmax//dt)# nombre de points de la simulation

t = np.linspace(0,tmax, N)# tableau des temps
v = np.zeros(N)# V tableau des tensions v
vp = np.zeros(N)# V/s dérivée de v
s = np.zeros(N)# V tableau des tensions s
sp = np.zeros(N)# V/s dérivée de s

v[0] = 0.1 # petite perturbation initiale

for i in range(1,N):# Calcul de s et v au cours du temps grâce à la méthode d'Euler
    s[i] = (1+R2/R1)*v[i-1]
    sp[i] = (s[i] - s[i-1])/dt
    vp[i] = vp[i-1] + dt*(-3/(R*C)*vp[i-1] - 1/(R*C)**2*v[i-1] + 1/(R*C)*sp[i])
    v[i] = v[i-1] + dt*vp[i-1]

La saturation de l’amplificateur n’a pas encore été prise en compte. Une vérification doit être introduite entre les lignes 24 et 25 du code précédent pour s’assurer que la tension de sortie de l’amplificateur ne dépasse pas la tension de saturation $𝑉_{sat}$ .

5/ Compléter les lignes à introduire entre les lignes 24 et 25 du code précédent pour prendre en compte la saturation de l’amplificateur.

if s[i] > Vsat :
    s[i] = ...
elif s[i] < -Vsat :
    s[i] = ...

Coup de pouce 1

La tension de sortie de l’amplificateur ne peut pas dépasser la tension de saturation

𝑉_{sat}

. Si c’est le cas dans la simulation, il faut la ramener à

𝑉_{sat}

Corrigé

if s[i] > Vsat :
    s[i] = Vsat
elif s[i] < -Vsat :
    s[i] = -Vsat

On souhaite maintenant visualiser les résultats de la simulation. Pour cela, on peut utiliser la bibliothèque matplotlib pour tracer les tensions $𝑠 (𝑡)$ et $𝑣 (𝑡)$ en fonction du temps.

6/ Compléter le code suivant pour tracer les tensions $𝑠 (𝑡)$ et $𝑣 (𝑡)$ en fonction du temps.

import matplotlib.pyplot as plt

plt.figure(1)
plt.clf()
plt.plot(..., label='s(t)')
plt.plot(..., label='v(t)')
plt.xlabel('Temps (s)')
plt.ylabel('Tension (V)')
plt.legend()
plt.grid()
plt.show()

Corrigé

import matplotlib.pyplot as plt

plt.figure(1)
plt.clf()
plt.plot(t, s, label='s(t)')
plt.plot(t, v, label='v(t)')
plt.xlabel('Temps (s)')
plt.ylabel('Tension (V)')
plt.legend()
plt.grid()
plt.show()

En théorie, on s’attend à ce que la tension $𝑣$ soit “plus sinusoïdale” que la tension $𝑠$ . Pour vérifier cela, on peut effectuer une transformée de Fourier sur les signaux simulés et comparer les spectres obtenus.

Le code suivant permet de calculer et de tracer les spectres des signaux $𝑠 (𝑡)$ et $𝑣 (𝑡)$ .

vTF = np.abs(np.fft.rfft(v)) # calcul du spectre de v
vTF = vTF/vTF.max() # normalisation du spectre pour pouvoir le comparer à celui de s
sTF = np.abs(np.fft.rfft(s)) # calcul du spectre de s
sTF = sTF/sTF.max() # normalisation
fréquences = np.fft.rfftfreq(N, dt) # calcul des fréquences associées aux spectres

plt.figure(2)
plt.clf()
plt.plot(fréquences, sTF, label="spectre de s")
plt.plot(fréquences, vTF, label="spectre de v")
plt.legend())
plt.xlabel("fréquence (Hz)")
plt.ylabel("spectre (sans unité)")
plt.show()

7/ Parmi les deux signaux, lequel a des harmoniques les plus grandes ? Est-ce conforme à ce que l’on attendait ? Quel est l’impact de $1 + \frac{𝑅_{2}}{𝑅_{1}}$ sur le spectre ?

Corrigé

Le spectre de $𝑠$ a des harmoniques plus grandes que celui de $𝑣$ . Cela est conforme à ce que l’on attendait, car la tension $𝑣$ est filtrée par le filtre de Wien, ce qui réduit les harmoniques.

Plus $1 + \frac{𝑅_{2}}{𝑅_{1}}$ est grand, plus les harmoniques de $𝑠$ et $𝑣$ sont importantes et plus les signaux s’éloignent de sinusoïdes.