Oscillateur à résistance négative — Électronique 3 : Oscillateurs

On considère le montage ci-dessous, appelé montage à résistance négative. On suppose l’ALI idéal en fonctionnement stable.

1/ Déterminer une relation entre la tension

𝑢

et la tension de sortie de l’ALI.

Coup de pouce 1

Le montage est-il stable ? Que peut-on dire de l’entrée différentielle

𝜀

Coup de pouce 2

À l’aide d’un pont diviseur de tension entre les résistances

𝑅_{1}

et d’une loi des mailles, relier l’entrée différentielle

𝜀

𝑢

et la sortie de l’ALI.

Corrigé

Le montage étant supposé stable et l’ALI idéal, $𝜀 = 𝑉_{+} - 𝑉_{-} = 0$ , soit $𝑉_{+} = 𝑉_{-}$ .

L’entrée $𝑉_{-}$ est le point milieu d’un pont diviseur de tension entre deux résistances égales $𝑅_{1}$ (courant d’entrée de l’ALI négligeable) :

𝑉_{-} = \frac{𝑅_{1}}{𝑅_{1} + 𝑅_{1}} 𝑉_{𝑠} = \frac{𝑉_{𝑠}}{2}

L’entrée $𝑉_{+}$ est reliée directement (par un simple fil) au nœud d’entrée où sont définis $𝑢$ et $𝑖$ : $𝑉_{+} = 𝑢$ .

La relation $𝑉_{+} = 𝑉_{-}$ donne donc

𝑢 = \frac{𝑉_{𝑠}}{2}

2/ En utilisant la loi d’Ohm, en déduire l’impédance d’entrée du montage

𝑍_{𝑒} = \frac{𝑢}{𝑖}

Coup de pouce 1

Écrire la loi d’Ohm dans la résistance

𝑅

Coup de pouce 2

Utiliser la fonction de transfert de la question précédente pour éliminer la tension de sortie de l’ALI dans la loi d’Ohm.

Corrigé

Le courant d’entrée de l’ALI étant négligeable, le courant $𝑖$ qui arrive sur le nœud $𝑉_{+} = 𝑢$ repart intégralement dans $𝑅$ vers la sortie $𝑉_{𝑠}$ . La loi d’Ohm dans $𝑅$ donne alors

𝑖 = \frac{𝑢 - 𝑉_{𝑠}}{𝑅}

En utilisant $𝑉_{𝑠} = 2 𝑢$ (question précédente),

𝑖 = \frac{𝑢 - 2 𝑢}{𝑅} = - \frac{𝑢}{𝑅}

L’impédance d’entrée du montage vaut donc

𝑍_{𝑒} = \frac{𝑢}{𝑖} = - 𝑅

Ce montage se comporte donc, vu de son entrée, comme une résistance négative $- 𝑅$ .

Ce montage, qui se comporte comme une « résistance négative », est placé dans le circuit suivant où

𝑅 = 10 kΩ

𝑟 = 10 kΩ

Coup de pouce 1

Appliquer la loi des mailles et utiliser les caractéristiques de différents composants.

Coup de pouce 2

Dériver la loi des mailles et utiliser que

𝑢_{𝐿} = 𝐿 \frac{d 𝑖}{d 𝑡}

𝑖 = 𝐶 \frac{d 𝑢_{𝐶}}{d 𝑡}

𝑢 = 𝑍_{𝑒} 𝑖

Corrigé

Le circuit est une maille unique parcourue par le courant $𝑖$ : le résistor $𝑟$ , le condensateur $𝐶$ , la bobine $𝐿$ et le dipôle de résistance négative $𝑍_{𝑒}$ sont donc tous traversés par le même courant $𝑖$ .

La loi des mailles s’écrit

𝑟 𝑖 + 𝑢_{𝐶} + 𝐿 \frac{d 𝑖}{d 𝑡} + 𝑍_{𝑒} 𝑖 = 0

avec $𝑖 = 𝐶 \frac{d 𝑢_{𝐶}}{d 𝑡}$ . En dérivant la loi des mailles par rapport au temps,

𝑟 \frac{d 𝑖}{d 𝑡} + \frac{d 𝑢_{𝐶}}{d 𝑡} + 𝐿 \frac{d^{2} 𝑖}{d 𝑡^{2}} + 𝑍_{𝑒} \frac{d 𝑖}{d 𝑡} = 0

et en remplaçant $\frac{d 𝑢_{𝐶}}{d 𝑡} = \frac{𝑖}{𝐶}$ , puis en multipliant par $𝐶$ ,

𝐿 𝐶 \frac{d^{2} 𝑖}{d 𝑡^{2}} + (𝑟 + 𝑍_{𝑒}) 𝐶 \frac{d 𝑖}{d 𝑡} + 𝑖 = 0

Avec $𝑍_{𝑒} = - 𝑅$ (question précédente),

𝐿 𝐶 \frac{d^{2} 𝑖}{d 𝑡^{2}} + (𝑟 - 𝑅) 𝐶 \frac{d 𝑖}{d 𝑡} + 𝑖 = 0

4/ Sous quelles conditions sur la valeur de

𝑅

les oscillations démarrent-elles ?

Coup de pouce 1

A quelle condition les solutions de l’équation différentielle précédente divergent-elles ?

Corrigé

Les oscillations démarrent spontanément si le système est instable, c’est-à-dire si le coefficient de $\frac{d 𝑖}{d 𝑡}$ dans l’équation différentielle précédente est négatif :

(𝑟 - 𝑅) 𝐶 < 0 \Rightarrow 𝑅 > 𝑟

Il faut donc que la résistance négative $- 𝑅$ compense, en valeur absolue, plus que la résistance $𝑟$ pour que les oscillations démarrent.