Oscillateur à filtre RLC — Électronique 3 : Oscillateurs

On considère le montage suivant, constitué d’un montage amplificateur non-inverseur et d’un filtre RLC-série.

1/ Déterminer la fonction de transfert

𝐻 (𝑝) = \frac{𝑆 (𝑝)}{𝐸 (𝑝)}

du filtre RLC-série.

Coup de pouce 1

Déterminer l’impédance équivalente de

𝐿

𝑟

𝐶

en série puis utiliser un pont diviseur de tension.

Corrigé

L’inductance $𝐿$ , la résistance $𝑟$ et le condensateur $𝐶$ sont parcourus par le même courant : ils sont en série et forment, avec $𝑅$ , un pont diviseur de tension entre $𝑒$ et $𝑠$ . On a donc

𝐻 (𝑝) = \frac{𝑆 (𝑝)}{𝐸 (𝑝)} = \frac{𝑅}{𝑅 + 𝑟 + 𝐿 𝑝 + \frac{1}{𝐶 𝑝}}

En multipliant numérateur et dénominateur par $𝐶 𝑝$ , on obtient la forme canonique

𝐻 (𝑝) = \frac{𝑅 𝐶 𝑝}{1 + (𝑅 + 𝑟) 𝐶 𝑝 + 𝐿 𝐶 𝑝^{2}}

2/ Donner la fonction de transfert

𝐺 (𝑝) = \frac{𝐸 (𝑝)}{𝑆 (𝑝)}

du montage amplificateur non-inverseur.

Corrigé

Le courant d’entrée de l’ALI étant négligeable, un pont diviseur de tension entre $𝑅_{1}$ et $𝑅_{2}$ donne la relation classique du montage amplificateur non-inverseur, sortie $𝑒$ et entrée $𝑠$ :

𝐺 (𝑝) = \frac{𝐸 (𝑝)}{𝑆 (𝑝)} = 1 + \frac{𝑅_{2}}{𝑅_{1}}

Coup de pouce 1

Utiliser les deux fonctions de transfert des questions précédentes.

Coup de pouce 2

Remplacer

𝐸 (𝑝)

dans la fonction de transfert du filtre en utilisant la fonction de transfert de l’amplificateur non-inverseur puis éliminer

𝐸 (𝑝)

Coup de pouce 3

Éliminer les traits de fraction puis prendre la partie réelle et la partie imaginaire.

Corrigé

Le système est bouclé : $𝑆 (𝑝) = 𝐻 (𝑝) 𝐸 (𝑝)$ et $𝐸 (𝑝) = 𝐺 (𝑝) 𝑆 (𝑝)$ . Pour des oscillations sinusoïdales entretenues, le critère de Barkhausen impose, en régime sinusoïdal établi ( $𝑝 = 𝑗 𝜔$ ),

𝐻 (𝑗 𝜔) 𝐺 (𝑗 𝜔) = 1

soit

\frac{𝑅 𝐶 𝑗 𝜔}{1 + (𝑅 + 𝑟) 𝐶 𝑗 𝜔 - 𝐿 𝐶 𝜔^{2}} (1 + \frac{𝑅_{2}}{𝑅_{1}}) = 1

En éliminant le dénominateur,

𝑅 𝐶 𝑗 𝜔 (1 + \frac{𝑅_{2}}{𝑅_{1}}) = 1 - 𝐿 𝐶 𝜔^{2} + (𝑅 + 𝑟) 𝐶 𝑗 𝜔

En identifiant partie réelle et partie imaginaire,

{\begin{cases} partie réelle : & 1 - 𝐿 𝐶 𝜔^{2} = 0 \\ partie imaginaire : & 𝑅 𝐶 𝜔 (1 + \frac{𝑅_{2}}{𝑅_{1}}) = (𝑅 + 𝑟) 𝐶 𝜔 \end{cases}

La partie réelle donne la pulsation des oscillations

𝜔_{0} = \frac{1}{\sqrt{𝐿 𝐶}}

et la partie imaginaire donne, après simplification par $𝜔$ ,

𝑅 (1 + \frac{𝑅_{2}}{𝑅_{1}}) = 𝑅 + 𝑟 \Rightarrow \frac{𝑅_{2}}{𝑅_{1}} = \frac{𝑟}{𝑅}

Des oscillations quasi-sinusoïdales, de pulsation $𝜔_{0} = \frac{1}{\sqrt{𝐿 𝐶}}$ , ne peuvent donc exister que si $\frac{𝑅_{2}}{𝑅_{1}} = \frac{𝑟}{𝑅}$ .

Coup de pouce 1

Est-ce le filtre passe-bande ou l’ALI qui a tendance à “purifier” le spectre ?

Corrigé

La tension

𝑒

est la sortie saturée de l’ALI : sa forme s’écarte d’autant plus d’une sinusoïde que la saturation est prononcée. La tension

𝑠

, elle, est la sortie du filtre passe-bande RLC, qui atténue les harmoniques de

𝑒

autour de sa fréquence centrale. C’est donc

𝑠

qui est la tension « la plus sinusoïdale ».

Coup de pouce 1

Établir une équation différentielle portant sur

𝑒

𝑠

Coup de pouce 2

Combiner les fonctions de transfert pour éliminer

𝐸

𝑆

, supprimer les traits de fraction puis passer en temporel.

Corrigé

En reprenant $𝑆 (𝑝) [1 + (𝑅 + 𝑟) 𝐶 𝑝 + 𝐿 𝐶 𝑝^{2}] = 𝑅 𝐶 𝑝 𝐸 (𝑝)$ et $𝐸 (𝑝) = (1 + \frac{𝑅_{2}}{𝑅_{1}}) 𝑆 (𝑝)$ , on obtient

𝑆 (𝑝) [1 + (𝑅 + 𝑟) 𝐶 𝑝 + 𝐿 𝐶 𝑝^{2}] = 𝑅 𝐶 𝑝 (1 + \frac{𝑅_{2}}{𝑅_{1}}) 𝑆 (𝑝)

𝑆 (𝑝) [1 + ((𝑅 + 𝑟) - 𝑅 (1 + \frac{𝑅_{2}}{𝑅_{1}})) 𝐶 𝑝 + 𝐿 𝐶 𝑝^{2}] = 0

ce qui donne, en passant dans le domaine temporel,

𝐿 𝐶 \frac{d^{2} 𝑠}{d 𝑡^{2}} + [(𝑅 + 𝑟) - 𝑅 (1 + \frac{𝑅_{2}}{𝑅_{1}})] 𝐶 \frac{d 𝑠}{d 𝑡} + 𝑠 = 0

Pour que les oscillations démarrent spontanément à partir d’un bruit quelconque, il faut que ce système bouclé soit instable, c’est-à-dire que le coefficient de $\frac{d 𝑠}{d 𝑡}$ soit négatif :

(𝑅 + 𝑟) - 𝑅 (1 + \frac{𝑅_{2}}{𝑅_{1}}) < 0 \Rightarrow \frac{𝑅_{2}}{𝑅_{1}} > \frac{𝑟}{𝑅}

On retrouve, sous forme d’inégalité stricte, la condition de la question 3.

6/ Lorsque la condition de démarrage des oscillations est tout juste vérifiée, quelle est l’amplitude de

𝑒 (𝑡)

? Quelle est celle de

𝑠 (𝑡)

Coup de pouce 1

Qu’est-ce qui limite l’amplitude des oscillations ?

Coup de pouce 2

Quelle est l’amplitude maximale de la tension de sortie d’un ALI ?

Coup de pouce 3

Utiliser une des fonctions de transfert pour relier les amplitudes de

𝑠

et de

𝑒

Corrigé

La tension $𝑒$ est directement la tension de sortie de l’ALI : c’est donc la saturation de l’ALI qui limite son amplitude, qui vaut $𝑉_{sat}$ .

$\frac{𝑒}{𝑠} = 1 + \frac{𝑅_{2}}{𝑅_{1}}$ donc $𝑠 = \frac{𝑒}{1 + \frac{𝑅_{2}}{𝑅_{1}}} = 𝑒 \frac{𝑅_{1}}{𝑅_{1} + 𝑅_{2}}$ L’amplitude de $𝑠$ vaut donc $𝑉_{sat} \frac{𝑅_{1}}{𝑅_{1} + 𝑅_{2}}$ .