Oscillateur à décharge de condensateur — Électronique 3 : Oscillateurs

On étudie le circuit suivant, où

𝑅_{1} = 100 kΩ

𝑅_{2} = 10 kΩ

𝑅_{3} = 10 kΩ

𝐶 = 10 nF

. L’ALI est supposé idéal.

1/ Identifier le filtre passif inclus dans ce montage. Quelle est sa fonction de transfert ? Quelle est l’équation différentielle associée ?

Coup de pouce 1

Le montage est constitué d’un comparateur à hystérésis et d’un filtre qu’il s’agit d’identifier.

Coup de pouce 2

Le filtre RC-série est-il un filtre passe-haut ou passe-bas ? Quelle est la forme canonique d’une fonction de transfert de ce type ?

Corrigé

Le montage est constitué de deux parties : un comparateur à hystérésis, réalisé avec l’ALI et $𝑅_{1}$ , $𝑅_{2}$ , et un filtre passif $𝑅_{3} 𝐶$ , dont l’entrée est $𝑉_{𝑠}$ et la sortie $𝑉_{-}$ (tension aux bornes de $𝐶$ ).

Ce filtre RC-série avec sortie sur $𝐶$ est un filtre passe-bas du premier ordre, de fonction de transfert

𝐻 (𝑝) = \frac{𝑉_{-} (𝑝)}{𝑉_{𝑠} (𝑝)} = \frac{1}{1 + 𝑅_{3} 𝐶 𝑝}

L’équation différentielle associée s’obtient en passant dans le domaine temporel :

𝑅_{3} 𝐶 \frac{d 𝑉_{-}}{d 𝑡} + 𝑉_{-} = 𝑉_{𝑠} (𝑡)

2/ Résoudre cette équation différentielle en supposant

𝑉_{𝑠}

constant.

Corrigé

L’équation différentielle $𝑅_{3} 𝐶 \frac{d 𝑉_{-}}{d 𝑡} + 𝑉_{-} = 𝑉_{𝑠}$ admet pour solution générale la somme d’une solution particulière constante, $𝑉_{-} = 𝑉_{𝑠}$ , et de la solution de l’équation homogène, en $𝑒^{- \frac{𝑡}{𝑅_{3} 𝐶}}$ . On a donc

𝑉_{-} (𝑡) = 𝑉_{𝑠} + (𝑉_{-} (0) - 𝑉_{𝑠}) exp (- \frac{𝑡}{𝑅_{3} 𝐶})

Il s’agit d’une évolution exponentielle vers l’asymptote $𝑉_{𝑠}$ , de constante de temps $𝜏 = 𝑅_{3} 𝐶$ .

3/ Quel montage de l’ALI reconnait-on dans ce montage ? Donner sa caractéristique

(𝑉_{𝑠}, 𝑉_{-})

Coup de pouce 1

En cas d’hésitation entre comparateur à hystérésis positif et négatif, regarder où se fait l’entrée.

Corrigé

L’entrée $𝑉_{-}$ est appliquée sur l’entrée inverseuse de l’ALI, tandis que l’entrée non-inverseuse est reliée au pont diviseur $𝑅_{1}$ , $𝑅_{2}$ formant une rétroaction positive à partir de $𝑉_{𝑠}$ . On reconnait donc un comparateur à hystérésis inverseur ou comparateur à hystérésis négatif.

Le courant d’entrée de l’ALI étant nul, un pont diviseur de tension donne, quel que soit l’état de $𝑉_{𝑠}$ ,

𝑉_{+} = \frac{𝑅_{2}}{𝑅_{1} + 𝑅_{2}} 𝑉_{𝑠}

L’ALI étant instable, sa sortie ne peut valoir que $\pm 𝑉_{sat}$ , et le signe de $𝑉_{𝑠}$ est celui de $𝜀 = 𝑉_{+} - 𝑉_{-}$ :

si $𝑉_{𝑠} = + 𝑉_{sat}$ , alors $𝑉_{+} = + \frac{𝑅_{2}}{𝑅_{1} + 𝑅_{2}} 𝑉_{sat}$ : cet état reste valable tant que $𝑉_{-} < \frac{𝑅_{2}}{𝑅_{1} + 𝑅_{2}} 𝑉_{sat}$ ;
si $𝑉_{𝑠} = - 𝑉_{sat}$ , alors $𝑉_{+} = - \frac{𝑅_{2}}{𝑅_{1} + 𝑅_{2}} 𝑉_{sat}$ : cet état reste valable tant que $𝑉_{-} > - \frac{𝑅_{2}}{𝑅_{1} + 𝑅_{2}} 𝑉_{sat}$ .

La caractéristique $(𝑉_{-}, 𝑉_{𝑠})$ présente donc un cycle d’hystérésis : $𝑉_{𝑠}$ bascule de $+ 𝑉_{sat}$ à $- 𝑉_{sat}$ quand $𝑉_{-}$ dépasse $\frac{𝑅_{2}}{𝑅_{1} + 𝑅_{2}} 𝑉_{sat}$ par valeurs croissantes, et de $- 𝑉_{sat}$ à $+ 𝑉_{sat}$ quand $𝑉_{-}$ dépasse $- \frac{𝑅_{2}}{𝑅_{1} + 𝑅_{2}} 𝑉_{sat}$ par valeurs décroissantes.

4/ En supposant qu’à

𝑡 = 0

𝑉_{𝑠} = + 𝑉_{sat}

𝑉_{-} (0) = - \frac{𝑅_{2}}{𝑅_{1} + 𝑅_{2}} 𝑉_{sat}

(juste après un basculement), tracer

𝑉_{-} (𝑡)

𝑉_{𝑠} (𝑡)

Coup de pouce 1

Tracer

𝑉_{-} (𝑡)

en supposant que

𝑉_{𝑠} (𝑡) = + 𝑉_{sat}

. Jusqu’à quand ce tracé reste-t-il valable ?

Coup de pouce 2

À quelle condition

𝑉_{𝑠}

passe-t-il de

+ 𝑉_{sat}

- 𝑉_{sat}

Corrigé

Tant que $𝑉_{𝑠} = + 𝑉_{sat}$ , $𝑉_{-}$ évolue, d’après la question 2, vers l’asymptote $𝑉_{sat}$ selon

𝑉_{-} (𝑡) = 𝑉_{sat} - (𝑉_{sat} + \frac{𝑅_{2}}{𝑅_{1} + 𝑅_{2}} 𝑉_{sat}) exp (- \frac{𝑡}{𝑅_{3} 𝐶})

Cette évolution reste valable jusqu’à ce que $𝑉_{-}$ atteigne le seuil haut $\frac{𝑅_{2}}{𝑅_{1} + 𝑅_{2}} 𝑉_{sat}$ , instant auquel $𝑉_{𝑠}$ bascule à $- 𝑉_{sat}$ (cf. question 3). $𝑉_{-}$ évolue alors, par symétrie, vers l’asymptote $- 𝑉_{sat}$ , jusqu’à retomber au seuil bas $- \frac{𝑅_{2}}{𝑅_{1} + 𝑅_{2}} 𝑉_{sat}$ , où $𝑉_{𝑠}$ rebascule à $+ 𝑉_{sat}$ , et le cycle recommence : $𝑉_{𝑠}$ est un signal créneau, $𝑉_{-}$ un signal formé de portions d’exponentielles oscillant entre $- \frac{𝑅_{2}}{𝑅_{1} + 𝑅_{2}} 𝑉_{sat}$ et $\frac{𝑅_{2}}{𝑅_{1} + 𝑅_{2}} 𝑉_{sat}$ .

Les tracés en pointillés représentent l’évolution de $𝑉_{-}$ en l’absence de commutation de $𝑉_{𝑠}$ pour aider la visualisation.

Coup de pouce 1

Déterminer la demi-période, c’est-à-dire le temps nécessaire pour que

𝑉_{-}

passe de

- \frac{𝑅_{2}}{𝑅_{1} + 𝑅_{2}} 𝑉_{sat}

\frac{𝑅_{2}}{𝑅_{1} + 𝑅_{2}} 𝑉_{sat}

Coup de pouce 2

Résoudre complètement (constante comprise) l’équation différentielle vérifiée par

𝑉_{-}

sur une demi période. On pourra appeler

𝑡_{1}

le début de cette demi-période et

𝑡_{2}

sa fin.

Corrigé

Sur la première demi-période (au moment du premier basculement à $𝑉_{𝑠} = - 𝑉_{sat}$ , avec $𝑉_{-} (\frac{𝑇}{2}) = \frac{𝑅_{2}}{𝑅_{1} + 𝑅_{2}} 𝑉_{sat}$ ) :

𝑉_{-} (𝑡) = 𝑉_{sat} - (𝑉_{sat} + \frac{𝑅_{2}}{𝑅_{1} + 𝑅_{2}} 𝑉_{sat}) exp (- \frac{𝑡 - 𝑡_{1}}{𝑅_{3} 𝐶})

La condition $𝑉_{-} (\frac{𝑇}{2}) = \frac{𝑅_{2}}{𝑅_{1} + 𝑅_{2}} 𝑉_{sat}$ donne

\frac{𝑅_{2}}{𝑅_{1} + 𝑅_{2}} 𝑉_{sat} = 𝑉_{sat} - (𝑉_{sat} + \frac{𝑅_{2}}{𝑅_{1} + 𝑅_{2}} 𝑉_{sat}) exp (- \frac{𝑡_{2} - 𝑡_{1}}{𝑅_{3} 𝐶})

exp (- \frac{𝑡_{2} - 𝑡_{1}}{𝑅_{3} 𝐶}) = \frac{𝑉_{sat} - \frac{𝑅_{2}}{𝑅_{1} + 𝑅_{2}} 𝑉_{sat}}{𝑉_{sat} + \frac{𝑅_{2}}{𝑅_{1} + 𝑅_{2}} 𝑉_{sat}}

𝑡_{2} - 𝑡_{1} = 𝑅_{3} 𝐶 ln (\frac{𝑉_{sat} + \frac{𝑅_{2}}{𝑅_{1} + 𝑅_{2}} 𝑉_{sat}}{𝑉_{sat} - \frac{𝑅_{2}}{𝑅_{1} + 𝑅_{2}} 𝑉_{sat}})

Avec $\frac{𝑅_{2}}{𝑅_{1} + 𝑅_{2}} 𝑉_{sat} = \frac{𝑅_{2}}{𝑅_{1} + 𝑅_{2}} 𝑉_{sat}$ , on a $𝑉_{sat} + \frac{𝑅_{2}}{𝑅_{1} + 𝑅_{2}} 𝑉_{sat} = \frac{𝑅_{1} + 2 𝑅_{2}}{𝑅_{1} + 𝑅_{2}} 𝑉_{sat}$ et $𝑉_{sat} - \frac{𝑅_{2}}{𝑅_{1} + 𝑅_{2}} 𝑉_{sat} = \frac{𝑅_{1}}{𝑅_{1} + 𝑅_{2}} 𝑉_{sat}$ , d’où

𝑡_{2} - 𝑡_{1} = 𝑅_{3} 𝐶 ln (1 + 2 \frac{𝑅_{2}}{𝑅_{1}})

Par symétrie, la demi-période suivante dure autant, donc la période des signaux vaut

𝑇 = 2 𝑅_{3} 𝐶 ln (1 + 2 \frac{𝑅_{2}}{𝑅_{1}})

Application numérique : $𝑇 = 3,6$ ⋅10−5 s≈3,6⋅101 µs.

Oscillateur à décharge de condensateur ★